Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，點A在第一象限，AB⊥x軸于B．AC⊥y軸于C，A（4a，3a），且四邊形ABOC的面積為48．

（1）如圖1，直接寫出點A的坐標；

（2）如圖2，點D從O出發(fā)以每秒1個單位的速度沿y軸正半軸運動，同時點E從A出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿射線BA運動，DE交線段AC于F，設(shè)運動的時間為t，當(dāng)S△AEF＜S△CDF時，求t的取值范圍；

（3）如圖3，將線段BC平移，使點B的對應(yīng)點M恰好落在y軸負半軸上，點C的對應(yīng)點為N，連BN交y軸軸于P，當(dāng)OM＝3OP時，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）點A的坐標（8，6）；（2）t的取值范圍為：0＜t＜2；（3）M（0，﹣）或（0，﹣18）．

【解析】

（1）根據(jù)矩形的面積列方程即可得到結(jié)論；

（2）過D作DH⊥AB于H，由S△AEF＜S△CDF，得到S矩形ACDH＞S△EDH，解不等式即可得到結(jié)論；

（3）如圖3（1）和（2），設(shè)M（0，n），由平移的性質(zhì)得N（﹣8，n+6），過N作NE⊥x軸于E，根據(jù)三角形和梯形的面積公式列方程即可得到結(jié)論．

（1）∵AB⊥x軸于B．AC⊥y軸于C，

∴四邊形ABOC是矩形，

∵A（4a，3a），

∴AC＝4a，AB＝3a，

∴4a3a＝48，

∴a＝±2，

∵點A在第一象限，

∴a＝2，

∴點A的坐標（8，6）；

（2）如圖2，過D作DH⊥AB于H，

∵S△AEF＜S△CDF，

∴S△AEF+S梯形AFDH＜S△CDF+S梯形AFDH，即S矩形ACDH＞S△EDH，

∴8×（6﹣t）＞8×（6+t），

解得t＜2，

∴t的取值范圍為：0＜t＜2；

（3）如圖3（1）和（2），

設(shè)M（0，n），由平移的性質(zhì)得N（﹣8，n+6），

過N作NE⊥x軸于E，

∵S△BNE＝S梯形NEOP+S△POB，

∴（8+8）×|n+6|＝（OP+|n+6|）×8+8×OP，

解得：OP＝|n+6|，

∵OM＝3OP，

∴﹣n＝3×|n+6|，

解得：n＝﹣，n＝﹣18，

∴M（0，﹣）或（0，﹣18）．