Question

（10分）已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，點(diǎn)F為BE中點(diǎn)，連結(jié)DF、CF.

（1）如圖1， 當(dāng)點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，請(qǐng)直接寫出此時(shí)線段DF、CF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系（不用證明）；

（2）如圖2，在（1）的條件下將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，請(qǐng)你判斷此時(shí)（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并證明你的判斷；

（3）如圖3，在（1）的條件下將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，若AD=1，AC=，求此時(shí)線段CF的長(zhǎng)（直接寫出結(jié)果）.

Answer 1

（1）相等和垂直；（2）成立，理由見(jiàn)試題解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知DF=BF，根據(jù)∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，DF⊥BF．

（2）延長(zhǎng)DF交BC于點(diǎn)G，先證明△DEF≌△GCF，得到DE=CG，DF=FG，根據(jù)AD=DE，AB=BC，得到BD=BG又因?yàn)椤螦BC=90°，所以DF=CF且DF⊥BF．

（3）延長(zhǎng)DF交BA于點(diǎn)H，先證明△DEF≌△HBF，得到DE=BH，DF=FH，根據(jù)旋轉(zhuǎn)條件可以△ADH為直角三角形，由△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AC=，可以求出AB的值，進(jìn)而可以根據(jù)勾股定理可以求出DH，再求出DF，由DF=BF，求出得CF的值．

試題解析：（1）∵∠ACB=∠ADE=90°，點(diǎn)F為BE中點(diǎn)，∴DF=BE，CF=BE，∴DF=CF．

∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，

∵BF=DF，∴∠DBF=∠BDF，

∵∠DFE=∠ABE+∠BDF，∴∠DFE=2∠DBF，

同理得：∠CFE=2∠CBF，

∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°，∴DF=CF，且DF⊥CF．

（2）（1）中的結(jié)論仍然成立．

證明：如圖，此時(shí)點(diǎn)D落在AC上，延長(zhǎng)DF交BC于點(diǎn)G．

∵∠ADE=∠ACB=90°，∴DE∥BC．∴∠DEF=∠GBF，∠EDF=∠BGF．

∵F為BE中點(diǎn)，∴EF=BF．∴△DEF≌△GBF．∴DE=GB，DF=GF．

∵AD=DE，∴AD=GB，

∵AC=BC，∴AC﹣AD=BC﹣GB，∴DC=GC．

∵∠ACB=90°，∴△DCG是等腰直角三角形，

∵DF=GF，∴DF=CF，DF⊥CF．

（3）延長(zhǎng)DF交BA于點(diǎn)H，

∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AC=BC，AD=DE．∴∠AED=∠ABC=45°，

∵由旋轉(zhuǎn)可以得出，∠CAE=∠BAD=90°，

∵AE∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∴∠DEF=∠HBF．

∵F是BE的中點(diǎn)，∴EF=BF，∴△DEF≌△HBF，∴ED=HB，

∵AC=，在Rt△ABC中，由勾股定理，得：AB=4，

∵AD=1，∴ED=BH=1，∴AH=3，在Rt△HAD中由勾股定理，得：DH=，

∴DF=，∴CF=，∴線段CF的長(zhǎng)為．

考點(diǎn)：1．等腰直角三角形；2．全等三角形的判定與性質(zhì)；3．幾何綜合題．

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：圖形的平移與旋轉(zhuǎn) 定義：
將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移。平移是圖形變換的一種基本形式。平移不改變圖形的形狀和大小，平移可以不是水平的。 平移基本性質(zhì)：
經(jīng)過(guò)平移，對(duì)應(yīng)線段平行（或共線）且相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連接的線段平行且相等；
平移變換不改變圖形的形狀、大小和方向(平移前后的兩個(gè)圖形是全等形)。
（1）圖形平移前后的形狀和大小沒(méi)有變化，只是位置發(fā)生變化;
（2）圖形平移后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連成的線段平行（或在同一直線上）且相等
（3）多次連續(xù)平移相當(dāng)于一次平移。
（4）偶數(shù)次對(duì)稱后的圖形等于平移后的圖形。
（5）平移是由方向和距離決定的。
這種將圖形上的所有點(diǎn)都按照某個(gè)方向作相同距離的位置移動(dòng)，叫做圖形的平移運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)稱為平移
平移的條件：確定一個(gè)平移運(yùn)動(dòng)的條件是平移的方向和距離。 平移的三個(gè)要點(diǎn)
1 原來(lái)的圖形的形狀和大小和平移后的圖形是全等的。
2 平移的方向。（東南西北，上下左右,東偏南n度，東偏北n度，西偏南n度，西偏北n度）
3 平移的距離。（長(zhǎng)度，如7厘米，8毫米等） 平移作用：
1.通過(guò)簡(jiǎn)單的平移可以構(gòu)造精美的圖形。也就是花邊，通常用于裝飾，過(guò)程就是復(fù)制-平移-粘貼。
2.平移長(zhǎng)于平行線有關(guān),平移可以將一個(gè)角,一條線段,一個(gè)圖形平移到另一個(gè)位置,是分散的條件集中到一個(gè)圖形上,使問(wèn)題得到解決。 平移作圖的步驟：
（1）找出能表示圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；
（2）確定平移的方向和距離；
（3）按平移的方向和距離確定關(guān)鍵點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；
（4）按原圖的順序，連結(jié)各對(duì)應(yīng)點(diǎn)。 試題屬性

• 題型：
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• 年級(jí)：