Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過點D作DE⊥AC交AC的延長線于點E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若AB＝10，AC＝6，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）4.

【解析】

（1）連接OD，如圖，先證明OD∥AE，再利用DE⊥AE得到OD⊥DE，然后根據切線的判定定理得到結論；
（2）作OF⊥AC于F，如圖，利用垂徑定理得到AF=CF=AC=3，在Rt△OAF中利用勾股定理計算出OF=4，然后證明四邊形OFED為矩形，從而得到DE=OF=4．

（1）證明：連接OD，如圖，

∵∠BAC的平分線交⊙O于點D，

∴∠BAD＝∠EAD，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

∴∠EAD＝∠ODA，

∴OD∥AE，

∵DE⊥AE，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線；

（2）解：作OF⊥AC于F，如圖，則AF＝CF＝AC＝3，

在Rt△OAF中，OF＝ ＝4，

∵∠OFE＝∠FED＝∠EDO＝90°，

∴四邊形OFED為矩形，

∴DE＝OF＝4．