Question

施工隊(duì)要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道，其高度為6米，寬度OM為12米．現(xiàn)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OM所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如圖1所示）．
（1）求出這條拋物線的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）隧道下的公路是雙向行車道（正中間是一條寬1米的隔離帶），其中的一條行車道能否行駛寬2.5米、高5米的特種車輛？請通過計(jì)算說明；
（3）施工隊(duì)計(jì)劃在隧道門口搭建一個矩形“腳手架”CDAB，使A、D點(diǎn)在拋物線上．B、C點(diǎn)在地面OM線上（如圖2所示）．為了籌備材料，需求出“腳手架”三根木桿AB、AD、DC的長度之和的最大值是多少，請你幫施工隊(duì)計(jì)算一下．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所建坐標(biāo)系知頂點(diǎn)P和與X軸交點(diǎn)M的坐標(biāo)，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式形式求解，x的取值范圍是0≤x≤12；
（2）根據(jù)對稱性當(dāng)車寬2.5米時，x=3或9，求此時對應(yīng)的縱坐標(biāo)的值，與車高5米進(jìn)行比較得出結(jié)論；
（3）求三段和的最大值須先列式表示三段的和，再運(yùn)用性質(zhì)求最大值，可設(shè)點(diǎn)A或點(diǎn)B的坐標(biāo)表示三段的長度從而得出表達(dá)式．

解答：解：（1）∵M(jìn)（12，0），P（6，6）．
∴設(shè)這條拋物線的函數(shù)解析式為y=a（x-6）²+6，
∵拋物線過O（0，0），
∴a（0-6）²+6=0，解得a=-

1

6

，
∴這條拋物線的函數(shù)解析式為y=-

1

6

（x-6）²+6，
即y=-

1

6

x²+2x．（0≤x≤12）

（2）當(dāng)x=6-0.5-2.5=3（或x=6+0.5+2.5=9）時
y=4.5＜5
故不能行駛寬2.5米、高5米的特種車輛．

（3）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，-

1

6

m²+2m）
則OB=m，AB=DC=-

1

6

m²+2m
根據(jù)拋物線的軸對稱，可得：OB=CM=m，
故BC=12-2m，即AD=12-2m
令L=AB+AD+DC=-

1

6

m²+2m+12-2m-

1

6

m²+2m=-

1

3

m²+2m+12=-

1

3

（m-3）²+15
故當(dāng)m=3，即OB=3米時，三根木桿長度之和L的最大值為15米．

點(diǎn)評：本題考查通過建模把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，這充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實(shí)用性．