Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點M的坐標為（1，-2）與y軸交于點C（0，），與x軸交于A、B兩點（A在B的左邊）．
（1）求此拋物線的表達式；
（2）點P是線段OB上一動點（不與點B重合），點Q在線段BM上移動且∠MPQ=45°，設線段OP=x，MQ=₁，求y₁與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）①在（2）的條件下是否存在點P，使△PQB是PB為底的等腰三角形，若存在試求點Q的坐標，若不存在說明理由；
②在（1）中拋物線的對稱軸上是否存在點F，使△BMF是等腰三角形，若存在直接寫出所有滿足條件的點F的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）設拋物線的表達式為y=a（x-1）²-2，將點C的坐標代入即可得出答案；
（2）先證明△MPQ∽△MPB，根據相似的性質列等式，求y₁與x的函數關系式；
（3）①假設存在滿足條件的P點，根據條件△PQB是PB為底的等腰三角形，作PB的垂直平分線交BM于Q，QP=QB．求出P點和Q點坐標；②根據△BMF是等腰三角形，只要點F使得該三角形的兩邊相等即可．
解答：解：（1）∵拋物線的頂點為M（1，-2）可設y=a（x-1）²-2，
由點（0，）得：，
∴．
∴，即．

（2）在x₂=3中，由y=0，得，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴A為（-1，0），B為（3，0）．
∵M（1，-2），
∴∠MBO=45°，MB=，
∴∠MPQ=45°∠MBO=∠MPQ，
又∵∠M=∠M，
∴△MPQ∽△MPB，
∴，
∴，
即，
∴（0≤x＜3）．

（3）①存在點Q，使QP=QB，即△PQB是以PB為底的等腰三角形，
作PB的垂直平分線交BM于Q，則QP=QB．
∴∠QPB=∠MBP=45°
又∵∠MPQ=45°，
∴此時MP⊥x軸，
∴P為（1，0），
∴PB=2．
∴Q的坐標為（2，-1）．
②使△BMF是等腰三角形的F點有：
F₁（1，0），F₂（1，），F₃（1，），F₄（1，2）．
點評：本題考查了二次函數的知識，是一道綜合題，有一定難度，注意對各部分知識的熟練掌握以便靈活應用．