【題目】如圖,正方形ABCD的邊長是2,點E是射線AB上一動點(點E與點A、B不重合),過點E作FG⊥DE交射線CB于點F、交DA的延長線于點G.

(1)求證:DE=GF.
(2)連結(jié)DF,設(shè)AE=x,△DFG的面積為y,求y與x之間的函數(shù)解析式.
(3)當(dāng)Rt△AEG有一個角為30°時,求線段AE的長.

【答案】
(1)證明:過點F作FH⊥DA,垂足為H,

∵在正方形ABCD中,∠DAE=∠B=90°,

∴四邊形ABFH是矩形,

∴FH=AB=DA,

∵DE⊥FG,

∴∠G=90°﹣∠ADE=∠DEA,

又∴∠DAE=∠FHG=90°,

∴△FHG≌△DAE,

∴DE=GF


(2)解:∵△FHG≌△DAE

∴FG=DE= ,

∵S△DGF= FGDE,

∴y= ,

∴解析式為:y= (0<x<2)


(3)解:①當(dāng)∠AEG=30°時,

在Rt△ADE中,∵∠DAE=90°,AD=2,∠AED=90°﹣30°=60°,

∴AE=ADtan30°= ,

②當(dāng)∠AEG=60°時,

在Rt△ADE中,∵∠DAE=90°,AD=2,∠AED=90°﹣60°=30°,

∴AE=ADtan60°=2

綜上所述,滿足條件的AE的值為2


【解析】(1)過點F作FH⊥DA,垂足為H,只要證明,△FHG≌△DAE即可解決問題;(2)由(1)可知DE=FG,所以△DGF的底與高可以關(guān)鍵勾股定理用含x的式子表示出來,所以解析式就可以表示出來;(3)分兩種切線畫出圖形分別解決即可;
【考點精析】掌握正方形的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OCDE的三個頂點分別是C(3,0),D(3,4),E(0,4).點A在DE上,以A為頂點的拋物線過點C,且對稱軸x=1交x軸于點B.連接EC,AC.點P,Q為動點,設(shè)運動時間為t秒.

(1)填空:點A坐標(biāo)為 ;拋物線的解析式為

(2)在圖1中,若點P在線段OC上從點O向點C以1個單位/秒的速度運動,同時,點Q在線段CE上從點C向點E以2個單位/秒的速度運動,當(dāng)一個點到達終點時,另一個點隨之停止運動.當(dāng)t為何值時,△PCQ為直角三角形?

(3)在圖2中,若點P在對稱軸上從點A開始向點B以1個單位/秒的速度運動,過點P做PF⊥AB,交AC于點F,過點F作FG⊥AD于點G,交拋物線于點Q,連接AQ,CQ.當(dāng)t為何值時,△ACQ的面積最大?最大值是多少?

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【題目】某商場為了吸引顧客,設(shè)置了兩種促銷方式.一種方式是:讓顧客通過轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤獲得購物券.規(guī)定顧客每購買100元的商品,就能獲得一次轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤的機會,如果轉(zhuǎn)盤停止后,指針正好對準(zhǔn)100元、50元、20元的相應(yīng)區(qū)域,那么顧客就可以分別獲得100元、50元、20元購物券,憑購物券可以在該商場繼續(xù)購物;如果指針對準(zhǔn)其他區(qū)域,那么就不能獲得購物券.另一種方式是:不轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤,顧客每購買100元的商品,可直接獲得10元購物券.據(jù)統(tǒng)計,一天中共有1 000人次選擇了轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤的方式,其中指針落在100元、50元、20元的次數(shù)分別為50次、100次、200.

(1)指針落在不獲獎區(qū)域的概率約是多少?

(2)通過計算說明選擇哪種方式更合算?

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【題目】如圖,已知A﹣3,﹣3),B﹣2,﹣1),C﹣1﹣2)是直角坐標(biāo)平面上三點.

1)請畫出△ABC關(guān)于原點O對稱的△A1B1C1;

2)請寫出點B關(guān)于y軸對稱的點B2的坐標(biāo),若將點B2向上平移h個單位,使其落在△A1B1C1內(nèi)部,指出h的取值范圍.

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【題目】某校七年級(2)班40個學(xué)生某次數(shù)學(xué)測驗成績?nèi)缦拢?/span>

63,84,91,53,69,81,61,69,91,78,75,81,80,67,76,81,79,94,61,69,

89,70,70,87,81,86,90,88,85,67,71,82,87,75,87,95,53,65,74,77

數(shù)學(xué)老師按10分的組距分段,算出每個分?jǐn)?shù)段學(xué)生成績出現(xiàn)的頻數(shù),填入頻數(shù)分頁表:

1)請把頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖補充完整并畫出頻數(shù)分布折線圖;

2)請你幫老師統(tǒng)計一下這次數(shù)學(xué)考試的及格率(60分以上含60分為及格)及優(yōu)秀率(90分以上含90分為優(yōu)秀);

3)請說明哪個分?jǐn)?shù)段的學(xué)生最多?哪個分?jǐn)?shù)段的學(xué)生最少?

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【題目】如圖,把矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊,設(shè)重疊部分為△EBD,則下列說法錯誤的是(
A.AB=CD
B.∠BAE=∠DCE
C.EB=ED
D.∠ABE一定等于30°

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【題目】如圖:在平行四邊形ABCD中,用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線交BC于點E(尺規(guī)作圖的痕跡保留在圖中了),連接EF.

(1)求證:四邊形ABEF為菱形;

(2)AE,BF相交于點O,若BF=6,AB=5,求AE的長.

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【題目】一次學(xué)科測驗,學(xué)生得分均為整數(shù),滿分10分,成績達到6分以上為合格.成績達到9分為優(yōu)秀.這次測驗中甲乙兩組學(xué)生成績分布的條形統(tǒng)計圖如下:

(1)請補充完成下面的成績統(tǒng)計分析表:

平均分

方差

中位數(shù)

合格率

優(yōu)秀率

甲組

6.9

2.4

91.7%

16.7%

乙組

1.3

83.3%

8.3%


(2)甲組學(xué)生說他們的合格率、優(yōu)秀率均高于乙組,所以他們的成績好于乙組.但乙組學(xué)生不同意甲組學(xué)生的說法,認(rèn)為他們組的成績要高于甲組.請你給出三條支持乙組學(xué)生觀點的理由.

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【題目】已知,O為直線AB上一點,DOE=90°

1如圖1,AOC=130°,OD平分AOC

BOD的度數(shù)

請通過計算說明OE是否平分BOC

2如圖2,BOEAOE=27,AOD的度數(shù)

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