【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OCDE的三個頂點分別是C(3,0),D(3,4),E(0,4).點A在DE上,以A為頂點的拋物線過點C,且對稱軸x=1交x軸于點B.連接EC,AC.點P,Q為動點,設(shè)運動時間為t秒.

(1)填空:點A坐標(biāo)為 ;拋物線的解析式為

(2)在圖1中,若點P在線段OC上從點O向點C以1個單位/秒的速度運動,同時,點Q在線段CE上從點C向點E以2個單位/秒的速度運動,當(dāng)一個點到達(dá)終點時,另一個點隨之停止運動.當(dāng)t為何值時,△PCQ為直角三角形?

(3)在圖2中,若點P在對稱軸上從點A開始向點B以1個單位/秒的速度運動,過點P做PF⊥AB,交AC于點F,過點F作FG⊥AD于點G,交拋物線于點Q,連接AQ,CQ.當(dāng)t為何值時,△ACQ的面積最大?最大值是多少?

【答案】(1)點A坐標(biāo)為(1,4),y=﹣x2+2x+3;(2)當(dāng)t=t=時,△PCQ為直角三角形;(3)當(dāng)t=2時,△ACQ的面積最大,最大值是1

【解析】試題分析:(1)根據(jù)矩形的三個頂點坐標(biāo)以及拋物線的對稱軸可求出點A的坐標(biāo);設(shè)拋物線的解析式為頂點式,然后把點AC坐標(biāo)代入計算即可;(2)分∠QPC=90°∠PQC=90°兩種情況討論,利用比例線段可求出t的值;(3)求出直線AC的解析式,然后把點P1,4﹣t)的縱坐標(biāo)代入,然后用t可表示出點Q的坐標(biāo),以及QF的長,然后可求出△ACQ的面積與t的函數(shù)關(guān)系式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)值的值即可.

試題解析:解:(1拋物線的對稱軸為x=1,矩形OCDE的三個頂點分別是C3,0),D34),E0,4),點ADE上,

A坐標(biāo)為(1,4),

設(shè)拋物線的解析式為y=ax﹣12+4

C3,0)代入拋物線的解析式,可得a3﹣12+4=0,

解得a=﹣1

故拋物線的解析式為y=﹣x﹣12+4,即y=﹣x2+2x+3;

2)依題意有:OC=3,OE=4

∴CE===5,

當(dāng)∠QPC=90°時,

∵cos∠QPC==,

=,

解得t=;

當(dāng)∠PQC=90°時,

∵cos∠QCP==,

=,

解得t=

當(dāng)t=t=時,△PCQ為直角三角形;

3∵A1,4),C30),

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,則

,

解得

故直線AC的解析式為y=﹣2x+6

∵P14﹣t),將y=4﹣t代入y=﹣2x+6中,得x=1+,

∴Q點的橫坐標(biāo)為1+,

x=1+代入y=﹣x﹣12+4中,得y=4﹣

∴Q點的縱坐標(biāo)為4﹣,

∴QF=4﹣4﹣t=t﹣

∴SACQ=SAFQ+SCPQ

=FQAG+FQDG

=FQAG+DG

=FQAD

=×2t﹣

=﹣t﹣22+1,

當(dāng)t=2時,△ACQ的面積最大,最大值是1

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