【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+ 的圖象與y軸交于點A(0,4),與x軸交于點B,C,點C坐標(biāo)為(8,0),連AB,AC,點N在線段BC上運動(不與點B,C重合)過點N作NM∥AC,交AB于點M.

(1)判斷△ABC的形狀,并說明理由;
(2)當(dāng)以點A,M,N為頂點的三角形與以點A,B,O為頂點的三角形相似時,求點N的坐標(biāo);
(3)當(dāng)△AMN面積等于3時,直接寫出此時點N的坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:∵圖象與y軸交于點A(0,4),

∴m=4.把點C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得a=﹣

二次函數(shù)解析式為y=﹣ x2+ x+4.

當(dāng)y=0時,﹣ x2+ x+4=0,解得x=8,x=﹣2.

∴點B的坐標(biāo)為(﹣2,0).

∴AB2=BO2+AO2=20,AC2=AO2+OC2=80.

∵BC2=(BO+OC)2=100,

在△ABC中,AB2+AC2=BC2

∴△ABC是直角三角形


(2)

解:設(shè)點N的坐標(biāo)為(n,0),則BN=n+2,

∵∠AOB=∠NMA=90°,

∴有兩種情況.

①當(dāng) = = 時,易得∠BAO=∠ANM=∠BNM.

∴NB=NA,

∴BN2=NA2,

即(n+2)2=n2+42,解得n=3,此時N(3,0),

②當(dāng) = =2時,d點N與原點O重合,

∴此時N(0,0)


(3)

解:設(shè)點N的坐標(biāo)為(n,0),﹣2<n<8,則BN=n+2,

過M點作MD⊥x軸于點D,

∵M(jìn)D∥OA,∴△BMD∽△BAO,

=

∵M(jìn)N∥AC, = ,

=

∵OA=4,BC=10,BN=n+2,

∴MD= (n+2).

∵SAMN=SABN﹣SBMN=﹣ (n﹣3)2+5=3,

解得n=3

∴N點坐標(biāo)為(3+ ,0)(3﹣ ,0)


【解析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法可得函數(shù)解析式,根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系,可得B點坐標(biāo),根據(jù)勾股定理及逆定理,可得答案;(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì),可得 = = ,根據(jù)BN與AN的關(guān)系,可得n,可得答案;(3)根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì),等量代換,可得, = ,可得MD,根據(jù)面積的和差,可得n的值,可得答案.
【考點精析】掌握二次函數(shù)的概念和二次函數(shù)的圖象是解答本題的根本,需要知道一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:一般式:y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù)),則稱y為x的二次函數(shù);二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點.

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(2)求椅子兩腳B、C之間的距離(精確到1厘米)(參考數(shù)據(jù):sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60,sin76°≈0.97.cos76°≈0.24,tan76°≈4.00)

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(1)求拋物線的表達(dá)式及點C的坐標(biāo);
(2)連接AC交直線l于點D,則在點P運動過程中,當(dāng)點D為EP中點時,SADP:SCDE=;
(3)如圖2,當(dāng)EC∥x軸時,點P停止運動,此時,在拋物線上是否存在點G,使得以點A,E,G為頂點的三角形是直角三角形?若存在,請求出點G的坐標(biāo),若不存在,說明理由.

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