Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線AB：y=-x+3分別與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B．動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從O、A同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以每秒1個(gè)點(diǎn)位長度的速度沿OA方向向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)后立即以原速度沿AO返向；點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長度的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿A-B-O方向向O點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）求點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）如圖1，在某一時(shí)刻將△APQ沿PQ翻折，使點(diǎn)A恰好落在AB邊的點(diǎn)C處，求此時(shí)△APQ的面積；
（3）若D為y軸上一點(diǎn)，在點(diǎn)P從O向A運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得四邊形PQBD為等腰梯形？若存在，求出t的值與D點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（4）如圖2，在P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，線段PQ的垂直平分線EF交PQ于點(diǎn)E，交折線QB-BO-OP于點(diǎn)F．問：是否存在某一時(shí)刻t，使EF恰好經(jīng)過原點(diǎn)O？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）令y=-x+3=0，解得x=4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）；
令x=0，得y=-×0+3=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（0，3）；

（2）由題意知，此時(shí)△APQ≌△DPQ，∠AQP=90°，
此時(shí)△AQP∽△AOB，AQ=t，AP=4-t
∴
即：
解得：AQ=t=，QP=，
∴S_△APQ=AQ•PQ=××=；

（3）存在，有以下兩種情況
①若PE∥BQ，則等腰梯形PQBE中PQ=BE
過E、P分分別作EM⊥AB于M，PN⊥AB于N．
則有BM=QN，由PE∥BQ，
得 ，
∴BM=（3-t）；
又∵AP=4-t，
∴AN=（4-t），
∴QN=（4-t）-t，
由BM=QN，得（3-t）=（4-t）-t
∴t=，
∴E（0，）；
②若PQ∥BE，則等腰梯形PQBE中
BQ=EP且PQ⊥OA于P點(diǎn)
由題意知AP=AQ=t
∵OP+AP=OA，
∴t+t=4
∴t=，
∴OE=，
∴點(diǎn)E（0，-）
由①②得E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）或（0，-）．

（4）連接OQ，并過點(diǎn)Q作QG⊥y軸y于G．
①當(dāng)P由O向A運(yùn)動(dòng)時(shí)，OQ=OP=AQ=t．
可得∠QOA=∠QAO∴∠QOB=∠QBO
∴OQ=BQ=t
∴BQ=AQ=AB
∴t=
當(dāng)點(diǎn)Q由點(diǎn)B向點(diǎn)O勻速運(yùn)動(dòng)，即5＜t＜8時(shí)，△OPQ始終是等腰直角三角形，那么線段PQ的垂直平分線EF必定都經(jīng)過原點(diǎn)O，所以5＜t＜8時(shí)也符合條件．
綜上①、②、③所述，所有符合條件的t的值是t=5≤t＜8；
②連接OQ，并過點(diǎn)Q作QG⊥y軸y于G．
當(dāng)P由A向O運(yùn)動(dòng)時(shí)，OQ=OP=8-t
BQ=5-t，QG=（5-t），OG=3-（5-t）
在Rt△OGQ中，OQ²=QG²+OG²
即（8-t）²=[（5-t）]2+[3-（5-t）]²
∴t=5
分析：（1）分別求得直線AB與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可求得A點(diǎn)與B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)將△APQ沿PQ翻折，使點(diǎn)A恰好落在AB邊的點(diǎn)C處時(shí)，∠AQP=90°，然后利用相似三角形求得線段AQ和線段PQ的長即可求得三角形APQ的面積；
（3）①若PD∥BQ，則梯形PQBD是等腰梯形．過D、P分分別作DM⊥AB于M，PN⊥AB于N．構(gòu)造矩形PNMD．則有BM=QN，由PD∥BQ，得=，從而求得MB的值；在直角三角形APN中根據(jù)AP求得QN的值，然后由BM=QN，求得t，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)就迎刃而解了；
②若PQ∥BD，則等腰梯形PQBD中BQ=EP且PQ⊥OA于P點(diǎn)．由OP+AP=OA求得t值；
（4）①當(dāng)P由O向A運(yùn)動(dòng)時(shí)，OQ=OP=AQ=t．再有邊角關(guān)系求得BQ=AQ=AD，解得t值；②②當(dāng)P由A向O運(yùn)動(dòng)時(shí)，OQ=OP=8-t．在Rt△OGQ中，利用勾股定理得OQ²=QG²+OG²，列出關(guān)于t的方程，解方程即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，相似三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，弄清相關(guān)線段的大小和比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵．