Question

直線l：y=3x+3與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（1，0）且與x軸垂直．
（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．
（2）設(shè)點(diǎn)P是直線m上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PA+PB的最小值及點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）在直線m上存在點(diǎn)M，使△MAB為等腰三角形，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（4）在直線m上存在點(diǎn)N，使△NAB為以AB為直角邊的直角三角形，畫(huà)出示意圖并直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）分別令x=0和y=0，可求得A、B的坐標(biāo)；
（2）在x軸上找到A關(guān)于x=1的對(duì)稱點(diǎn)為A′，連接A′B交m于點(diǎn)P，則PA+PB=PA′+PB最小，根據(jù)勾股定理可求得A′B，結(jié)合條件可求得M的坐標(biāo)；
（3）設(shè)出M為（1，y），分MA=MB、MB=AB、MA=AB三種情況得到出關(guān)于y的方程，可求出M的坐標(biāo)；
（4）畫(huà)出圖形，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可求出N點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵y=3x+3，
∴令y=0可得x=-1，令x=0可得y=3，
∴A點(diǎn)為（-1，0），B點(diǎn)為（0，3）；
（2）∵直線m過(guò)點(diǎn)C（1，0），
∴直線m的方程為x=1，
∴A點(diǎn)關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)為A′（3，0），
如圖1，連接A′B交m于點(diǎn)P，則PA+PB=PA′+PB=A′B最小，

在Rt△OBA′中，OB=3，OA′=3，由勾股定理可求得A′B=3

2

，
∵OB=OA′，
∴∠PA′C=45°，
∴PC=CA′=2，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），
∴當(dāng)P點(diǎn)為（1，2）時(shí)PA+PB有最小值3

2

；
（3）設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，y），
則由勾股定理可知AB²=10，AM²=（1+1）²+y²=4+y²，BM=1²+（y-3）²=1+（y-3）²，
∵△MAB為等腰三角形，
∴分MA=MB、MB=AB、MA=AB三種情況，
當(dāng)MA=MB時(shí)，即AM²=BM²，所以4+y²=1+（y-3）²，解得y=1，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），
當(dāng)MB=AB時(shí)，即MB²=AB²，所以10=1+（y-3）²，解得y=0或y=6，此時(shí)M為（1，0）或（1，6），
當(dāng)MA=AB時(shí)，即MA²=AB²，所以10=4+y²，解得y=

6

或y=-

6

，此時(shí)M為（1，

6

）或（1，-

6

），
綜上可知M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1）或（1，0）或（1，6）或（1，

6

）或（1，-

6

）；
（4）N點(diǎn)的位置如圖2所示，

當(dāng)∠ABN=90°時(shí)，過(guò)B作BD⊥m于點(diǎn)D，設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（1，k），則BD=OC=1，
∵∠ABO+∠OBN=∠OBN+∠DBN=90°，
∴∠ABO=∠DBN，且∠AOB=∠BDN，
∴△ABO∽△NBD，
∴

AO

DN

=

BO

BD

，
即

1

DN

=

3

1

，解得DN=

1

3

，
∴NC=3-

1

3

=

8

3

，
此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為（1，

8

3

），
當(dāng)∠NAB=90°時(shí)，
∵∠CAN+∠BAO=∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAN，且∠AOB=∠ACN=90°，
∴

AO

CN

=

BO

AC

，
即

1

CN

=

3

2

，解得CN=

2

3

，
此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-

2

3

）．
在Rt△ACN中，AC=2，

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和軸對(duì)稱的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用．在（2）中確定出P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，在（3）中設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)分別表示出AB、MA、MB的長(zhǎng)度，分三種情況討論是關(guān)鍵，在（4）中注意利用相似三角形的性質(zhì)來(lái)求線段的長(zhǎng)度．知識(shí)點(diǎn)較多，難度較大，注意分類(lèi)思想和方程思想的應(yīng)用．