Question

（2013•宿遷）如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，且AB=10，BC=6，CD=2．點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)E作EF∥AD交邊AB于點(diǎn)F．將△BEF沿EF所在的直線折疊得到△GEF，直線FG、EG分別交AD于點(diǎn)M、N，當(dāng)EG過點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)E即停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)BE=x，△GEF與梯形ABCD的重疊部分的面積為y．
（1）證明△AMF是等腰三角形；
（2）當(dāng)EG過點(diǎn)D時(shí)（如圖（3）），求x的值；
（3）將y表示成x的函數(shù)，并求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）由條件EF∥AD就可以得出∠A=∠EFB，∠GFE=∠AMF，由△GFE與△BFE關(guān)于EF對(duì)稱可以得出∠GFE=∠BFE，就可以得出∠A=∠AMF，從而得出結(jié)論；
（2）當(dāng)EG過點(diǎn)D時(shí)在Rt△EDC中由勾股定理建立方程求出其解即可；
（3）分情況討論當(dāng)點(diǎn)G不在梯形外時(shí)和點(diǎn)G在梯形之外兩種情況求出x的值就可以求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，在自變量的取值范圍內(nèi)就可以求出相應(yīng)的最大值，從而求出結(jié)論；

解答：（1）證明：如圖1，∵EF∥AD，
∴∠A=∠EFB，∠GFE=∠AMF．
∵△GFE與△BFE關(guān)于EF對(duì)稱，
∴△GFE≌△BFE，
∴∠GFE=∠BFE，
∴∠A=∠AMF，
∴△AMF是等腰三角形；

（2）解：如圖1，作DQ⊥AB于點(diǎn)Q，
∴∠AQD=∠DQB=90°．
∵AB∥DC，
∴∠CDQ=90°．
∵∠B=90°，
∴四邊形CDQB是矩形，
∴CD=QB=2，QD=CB=6，
∴AQ=10-2=8．
在Rt△ADQ中，由勾股定理得
AD=

64+36

=10，
∴tan∠A=

3

4

，
∴tan∠EFB=

EB

FB

=

3

4

如圖3，∵EB=x，
∴FB=

4

3

x，CE=6-x，
∴AF=MF=10-

4

3

x，
∴GM=

8

3

x-10，
∴GD=2x-

15

2

，
∴DE=

15

2

-x，
在Rt△CED中，由勾股定理得
（

15

2

-x）²-（6-x）²=4，
解得：x=

65

12

，
∴當(dāng)EG過點(diǎn)D時(shí)x=

65

12

；


（3）解：當(dāng)點(diǎn)G在梯形ABCD內(nèi)部或邊AD上時(shí)，
y=

1

2

x•

4

3

x=

2

3

x²，
當(dāng)點(diǎn)G在邊AD上時(shí)，易求得x=

15

4

，
此時(shí)0＜x≤

15

4

，
則當(dāng)x=

15

4

時(shí)，y最大值為

75

8

．
當(dāng)點(diǎn)G在梯形ABCD外時(shí)，
∵△GMN∽△GFE，
∴

S△GMN

S△GFE

=(

GM

GF

)2，
即

2 3 x2-y

2 3 x2

=(

8 3 x-10

4 3 x

)2，由（2）知，x≤

65

12

y=-2x²+20x-

75

2

=-2（x-5）²+

25

2

（

15

4

＜x≤

65

12

），
當(dāng)x=5時(shí)，y最大值為

25

2

，
由于

25

2

＞

75

8

，故當(dāng)x=5時(shí)，y最大值為

25

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的性質(zhì)的運(yùn)用，軸對(duì)稱的性質(zhì)的運(yùn)用，函數(shù)的解析式的性質(zhì)的運(yùn)用，分段函數(shù)的運(yùn)用，三角函數(shù)值的運(yùn)用，解答時(shí)求分段函數(shù)的解析式是難點(diǎn)．