Question

如圖，點(diǎn)P為△AEF外一點(diǎn)，PA平分∠EAF，PD⊥EF于D，且DE=DF，PB⊥AE于B．
求證：AF-AB=BE．

Answer 1

分析：過點(diǎn)P作PM⊥AF于M，連接PE、PF，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得PB=PM，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得PE=PF，然后利用“HL”證明Rt△PBE和Rt△PMF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得MF=BE，再根據(jù)AF-AM=MF整理即可得證．

解答：證明：如圖，過點(diǎn)P作PM⊥AF于M，連接PE、PF，
∵PA平分∠EAF，PB⊥AE，
∴PB=PM，AM=AB，
∵PD⊥EF，DE=DF，
∴PD垂直平分EF，
∴PE=PF，
在Rt△PBE和Rt△PMF，

PE=PF PB=PM

，
∴Rt△PBE≌Rt△PMF（HL），
∴MF=BE，
∵AF-AM=MF，
∴AF-AB=BE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．