Question

已知二次函數(shù)y=x²+bx+c，其圖象拋物線交x軸于點A（1，0），B（3，0），交y軸于點C，直線l過點C，且交拋物線于另一點E（點E不與點A、B重合）．
（1）求此二次函數(shù)關系式；
（2）若直線l₁經過拋物線頂點D，交x軸于點F，且l₁∥l，則以點C、D、E、F為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求出點E的坐標；若不能，請說明理由．
（3）若過點A作AG⊥x軸，交直線l于點G，連接OG、BE，試證明OG∥BE．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）由二次函數(shù)y=x²+bx+c，其圖象拋物線交x軸于點A（1，0），B（3，0），直接利用待定系數(shù)法求解，即可求得此二次函數(shù)關系式；
（2）以點C、D、E、F為頂點的四邊形構成平行四邊形，有兩種情形，需要分類討論，避免漏解：
①若CD為平行四邊形的對角線，如答圖2-1所示；
②若CD為平行四邊形的邊，如答圖2-2所示；
（3）首先過點E作EH⊥x軸于點H，設直線CE的解析式為：y=kx+3，然后分別求得點G與E的坐標，即可證得△OAG∽△BHE，則可得∠AOG=∠HBE，繼而可證得OG∥BE．

解答：解：（1）二次函數(shù)y=x²+bx+c，其圖象拋物線交x軸于點A（1，0），B（3，0），
∴

1+b+c=0 9+3b+c=0

，
解得：

b=-4 c=3

，
∴此二次函數(shù)關系式為：y=x²-4x+3；

（2）假設以點C、D、E、F為頂點的四邊形能成為平行四邊形．
①若CD為平行四邊形的對角線，如答圖2-1．
過點D作DM⊥AB于點M，過點E作EN⊥OC于點N，
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴點D（2，-1），點C（0，3），
∴DM=1，
∵l₁∥l，
∴當CE=DF時，四邊形CEDF是平行四邊形，
∴∠ECF+∠CFD=180°，
∵∠OCF+∠OFC=90°，
∴∠ECN+∠DFM=90°，
∵∠DFM+∠FDM=90°，
∴∠ECN=∠FDM，
在△ECN和△FDM中，

∠CNE=∠DMF=90° ∠ECN=∠FDM CE=DF

，
∴△ECN≌△FDM（AAS），
∴CN=DM=1，
∴ON=OC-CN=3-1=2，
當y=2時，x²-4x+3=2，
解得：x=2±

3

；
當x=2±

3

時，可得E（2+

3

，2），F(xiàn)（-

3

，0）或E（2-

3

，2，），F(xiàn)（

3

，0），
此時四邊形CFDE為平行四邊形．

②若CD為平行四邊形的邊，如答圖2-2，則EF∥CD，且EF=CD．
過點D作DM⊥y軸于點M，則DM=2，OM=1，CM=OM+OC=4；
過點E作EN⊥x軸于點N．
易證△CDM≌△EFN，∴EN=CM=4．
∴x²-4x+3=4，
解得：x=2±

5

．
綜上所述，以點C、D、E、F為頂點的四邊形能成為平行四邊形；點E的坐標為（2+

3

，2）、（2-

3

，2）、（2+

5

，4）、（2-

5

，4）．

（3）如圖②，過點E作EH⊥x軸于點H，
設直線CE的解析式為：y=kx+3，
∵A（1，0），AG⊥x軸，
∴點G（1，k+3），
即OA=1，AG=k+3，
∵E是直線與拋物線的交點，
∴

y=kx+3 y=x2-4x+3

，
解得：

x=k+4 y=(k+1)(k+3)

，
∴點E（k+4，（k+1）（k+3）），
∴BH=OH-OB=k+1，EH=（k+1）（k+3），
∴

OA

BH

=

AG

EH

=

1

k+1

，
∵∠OAG=∠BHE=90°，
∴△OAG∽△BHE，
∴∠AOG=∠HBE，
∴OG∥BE．

點評：此題屬于二次函數(shù)的綜合題、綜合性較強，難度較大，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點問題、平行四邊形的性質以及相似三角形的判定與性質等知識．注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想與方程思想的應用．