Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+c的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1，0），頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-2），點(diǎn)D在x軸上，過點(diǎn)D作直線l垂直于x軸，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m（m＞1）．
（1）求二次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）二次函數(shù)y=ax²+c的圖象上有一點(diǎn)Q，當(dāng)△ODQ是以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形時(shí)，求m的值；
（3）在直線l上有一點(diǎn)P（點(diǎn)P在第一象限），使得以點(diǎn)P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)B、C、O為頂點(diǎn)的三角形全等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入y=ax²+c，求出a和c的值，繼而可求得函數(shù)關(guān)系式和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)△ODQ是以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，2m²-2），然后根據(jù)等腰直角三角形，可得出方程，求出m的值即可；
（3）分當(dāng)△BOC≌△PDB時(shí)和當(dāng)△BOC≌△BDP時(shí)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+c圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)C（0，-2），
∴

c=-2 a+c=0

，
解得：

a=2 c=-2

，
∴二次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為y=2x²-2；
∵點(diǎn)B與點(diǎn)A（-1，0）關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）；

（2）當(dāng)△ODQ是以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形時(shí)，
點(diǎn)Q為二次函數(shù)和直線l的交點(diǎn)，
∵OD=m，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，2m²-2），
則2m²-2=m，
解得：m₁=

1- 17

4

，m₂=

1+ 17

4

，
∵m＞1，
∴m=

1+ 17

4

；

（3）①當(dāng)△BOC≌△PDB時(shí)，PD=OB=1，BD=OC=2，
∴m=3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1），
②當(dāng)△BOC≌△BDP時(shí)，PD=OC=2，BD=OB=1，
∴m=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到等腰直角三角形的性質(zhì)，運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，全等三角形的性質(zhì)．此題綜合性很強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是方程思想，分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．