如圖1,直線y=x+3與x軸、y軸分別交于點A、點C,經(jīng)過A、C兩點的拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一交點為B,頂點P的橫坐標為-2.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)連接BC,得△ABC.若點D在x軸上,且以點P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似,求出點P的坐標并直接寫出此時△PBD外接圓的半徑;
(3)設直線l:y=x+t,若在直線l上總存在兩個不同的點E,使得∠AEB為直角,則t的取值范圍是
2-
2
<t<2+
2
,且t≠1、t≠3
2-
2
<t<2+
2
,且t≠1、t≠3

(4)點F是拋物線上一動點,若∠AFC為直角,則點F坐標為
-5+
5
2
,
1-
5
2
)或(
-5-
5
2
,
1+
5
2
-5+
5
2
,
1-
5
2
)或(
-5-
5
2
,
1+
5
2

分析:(1)知道了拋物線頂點P的橫坐標,那么也就知道了拋物線的對稱軸方程,點A、C的坐標可由直線AC求得,而點A、B關(guān)于拋物線對稱軸對稱,所以點B的坐標可得,再由待定系數(shù)法確定拋物線的解析式.
(2)由A、P、B、C四點坐標不難看出:∠PBA=∠CAB=45°,那么若以點P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似,只需找出另一組對應角相等即可,分兩種情況討論:①∠PCB=∠ABC,②∠BPC=∠ABC;在上述兩種情況中,先設出點D的坐標,再表示出BD、BP、AB、AC的長,根據(jù)得到的不同比例線段,列式求出點D的坐標.知道了PD的長,由2r=
PD
sin∠PBD
求出三角形的外接圓半徑.
(3)∠AEB是直角,那么點E必為以AB為直徑的圓與直線l的交點,若符合條件的點E有兩個,那么直線l與以AB為直角的圓有兩個交點,所以在判斷t的取值范圍時,考慮兩個方面:①先求出最大、最小值,此時直線l與以AB為直角的圓相切;②∠AEB是直角,那么點A、E或點B、E不重合,即直線l不能經(jīng)過點A、B.
(4)過點F作y軸的垂線FH,過點F作x軸的垂線FG,先證明△AFG∽△CFH,根據(jù)得到比例線段列式求出點F的坐標.
解答:解:(1)由直線y=x+3知,點A(-3,0)、C(0,3);
拋物線的頂點P的橫坐標為-2,所以對稱軸x=-2,則 B(-1,0);
將點A、B、C的坐標代入拋物線的解析式中,得:
9a-3b+c=0
a-b+c=0
c=3

解得
a=1
b=4
c=3

故拋物線的解析式:y=x2+4x+3.

(2)由(1)的拋物線解析式知:y=x2+4x+3=(x+2)2-1,
則頂點P(-2,-1);
已知A(-3,0)、C(0,3),B(-1,0)、P(-2,-1)知:∠CAB=∠PBA=45°,AB=2、AC=3
2
、BP=
2
;
①當∠ABC=∠BPD1時,△ABC∽△BPD1,得:
BP
AB
=
BD1
AC
,即
2
2
=
BD1
3
2
,BD1=3;
則D1(-4,0),則 PD1=
5
;
故△PBD外接圓半徑 r1=
PD1
2sin∠PBD
=
5
2•sin45°
=
5
2•
2
2
=
10
2

②當∠ABC=∠BD2P時,△ABC∽△BD2P,得:
BP
AC
=
BD2
AB
,即
2
3
2
=
BD2
2
,BD2=
2
3
;
則D2(-
5
3
,0),則 PD2=
10
3
;
故△PBD外接圓半徑 r2=
PD2
2sin∠PBD
=
10
3
2•sin45°
=
10
3
2•
2
2
=
5
3

綜上,有兩組解分別是:①P(-2,-1),D1(-4,0),r1=
10
2
;②P(-2,-1),D2(-
5
3
,0),r2=
5
3


(3)若∠AEB為直角,那么點E在以AB為直徑的⊙Q上,那么點E為直線l與⊙Q的交點(如右圖);
取與直線l平行,且與⊙Q相切的直線l′、l″,如右圖,設切點分別為M、N;
∵直線l∥直線l′∥直線l″,且它們的斜率k=1,
∴∠MKQ=∠NQL=45°.
Rt△KMQ中,QM=
1
2
AB=1,∠MKQ=45°,則 KQ=
2
,
同理可得 QL=
2
;
∴K(-2-
2
,0)、L(-2+
2
,0);
若直線l與⊙Q始終有兩個交點,那么直線l必在直線l′、l″之間,由于直線l與x軸交點為(-t,0),有:
-2-
2
<-t<-2+
2
,即 2-
2
<t<2+
2
;
而∠AEB是直角,那么點A與點E以及點B與點E都不重合,即直線l不經(jīng)過點A、B,所以,-t≠-1,且-t≠-3;
綜上,t的取值范圍:2-
2
<t<2+
2
,且t≠1、t≠3.

(4)設點F(x,x2+4x+3),若∠AFC=90°,那么點F在y軸左側(cè);
①當點F在x軸下方時,過點F作FG⊥x軸于G,F(xiàn)H⊥y軸于H,如圖①;
OG=FH=-x,F(xiàn)G=OH=-(x2+4x+3),
AG=OA-OG=3-(-x)=3+x,CH=OC+OH=3-(x2+4x+3)=-(x2+4x);
∵∠FAC+∠ACF=90°,即∠CAG+∠FAG+∠ACF=90°,又∠CAG=45°,
∴∠FAG+∠ACF=45°;
∵∠ACO=∠ACF+∠FCH=45°,
∴∠FAG=∠FCH;
又∵∠AGF=∠CHF,
∴△AFG∽△CFH,得:
AG
CH
=
FG
FH
,即
x+3
-x(x+4)
=
-(x+1)(x+3)
-x

解得:x1=
-5+
5
2
、x2=
-5-
5
2
(舍);
則F(
-5+
5
2
,
1-
5
2
);
②當點F在x軸上方時,如圖②;
同①求得 F(
-5-
5
2
,
1+
5
2
).
綜上,點F的坐標為:(
-5+
5
2
,
1-
5
2
)或(
-5-
5
2
1+
5
2
).
點評:此題考查了難度較大的函數(shù)與幾何的綜合題,主要涉及了:函數(shù)解析式的確定、三角形外接圓半徑的求法、圓周角、直線與圓的位置關(guān)系以及相似三角形的判定和性質(zhì)等重點知識;第三題中,由直角聯(lián)想到圓是打開思路的關(guān)鍵;第二、四小題涉及到多種情況,應通過圖形將各種情況分別列出進行分類討論,以免出現(xiàn)漏解的情況.
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12
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