Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（-1，0）、B（0，2）且Rt△AOB≌Rt△CDA，拋物線y=ax²+ax-2經(jīng)過點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P是x軸上一點，且PC⊥PB，求P點的坐標(biāo)；
（3）在拋物線上是否存在兩點E、F，使四邊形ABEF是正方形？若存在，求點E、F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知Rt△AOB≌Rt△CDA，因此OB=AD=2，OA=CD=1，據(jù)此可求出C點坐標(biāo)，然后將C點坐標(biāo)代入拋物線中即可求出二次函數(shù)的解析式．
（2）連接BC，點P是x軸上一點，則設(shè)OP=x，若PC⊥PB則∠CPB=90°，所以三角形BPC是直角三角形，由勾股定理可得PC²+PB²=BC²，求出OP的值進(jìn)而得到P的坐標(biāo)；
（3）存在，可以AB為邊在拋物線的右側(cè)作正方形ABEF，過E作EH⊥y軸，過F作FG垂直x軸于G，不難得出三角形ABO和三角形BHE和三角形AFG都全等，據(jù)此可求出E，F(xiàn)的坐標(biāo)，然后將兩點坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可判斷出E、F是否在拋物線上．
解答：解：（1）∵A（-1，0）、B（0，2）且Rt△AOB≌Rt△CDA，
∴OA=1，AD=BO=2，
∴OD=AO+AD=2+1=3，
∵∠D=90°，
∴CD⊥OD
∴CD=1，
∴C點坐標(biāo)為（-3，1），
∵拋物線經(jīng)過點C，
∴1=a（-3）²+a（-3）-2，
∴a=，
∴拋物線的解析式為y=x²+x-2；

（2）設(shè)OP=x，
∵Rt△AOB≌Rt△CDA，
∴∠CAD=∠ABO，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CAD+∠BAO=90°，
∴∠CAB=90°，
∴△ACB是直角三角形，
∴BC==，
∵PC⊥PB，
∴∠CPB=90°，
∴△BPC是直角三角形，
∴PB²+PC²=BC²，
∵PB²=OP²+BO²，PC²=CD²+DP²，
∴OP²+BO²+CD²+DP²=BC²，
即x²+2²+1²+（3-x）²=10，
解得：x=1或2，
由題意可知：P在x的負(fù)半軸，
∴P的坐標(biāo)為（-1，0）或（-2，0）；
（3）存在，
在拋物線上存在點E、F，使四邊形ABEF是正方形．
以AB為邊在AB的右側(cè)作正方形ABEF，過E作EH⊥OB于H，F(xiàn)G⊥x軸于G，可證△EHB≌△AFG≌△BAO，
∴HE=AG=BO=2，BH=FG=AO=1，
∴E點坐標(biāo)為（2，1），F(xiàn)點坐標(biāo)為（1，-1）．
由（1）拋物線y=x²+x-2，當(dāng)x=2時，y=1；當(dāng)x=1時，y=-1．
∴E、F在拋物線上．
故在拋物線上存在點E（2，1）、F（1，-1），使四邊形ABPQ是正方形．
點評：本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、正方形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識點．綜合性強(qiáng)，涉及的知識點多，難度較大．