Question

如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn)，設(shè)大圓和小圓的半徑分別為a、b，求證：AD•BD=a²-b²．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,勾股定理

專題：證明題

分析：作OH⊥AB于H，如圖，連結(jié)OA、OC，根據(jù)垂徑定理得CH=DH，AH=BH，再利用線段的代換可得到AD•BD=AH²-CH²，然后根據(jù)勾股定理，在Rt△AOH中得到AH²=a²-OH²，在Rt△COH中得到CH²=b²-OH²，則AH²-CH²=a²-b²，所以AD•BD=a²-b²．

解答：證明：作OH⊥AB于H，如圖，連結(jié)OA、OC，
∵OH⊥AB，
∴CH=DH，AH=BH，
∴AD•BD=（AH+DH）（BH-DH）
=（AH+CH）（AH-CH）
=AH²-CH²，
在Rt△AOH中，AH²=OA²-OH²=a²-OH²，
在Rt△COH中，CH²=OC²-OH²=b²-OH²，
∴AH²-CH²=a²-b²，
∴AD•BD=a²-b²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．也考查了勾股定理．