Question

如圖，已知AB∥DE，AB=DE，AF=CD，∠CEF=90°．
（1）若∠ECF=30°，CF=8，求CE的長；
（2）求證：△ABF≌△DEC；
（3）求證：四邊形BCEF是矩形．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),矩形的判定

專題：

分析：（1）解直角三角形即可求出答案；
（2）根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠A=∠D，根據(jù)SAS推出兩三角形全等即可；
（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BF=CE，∠AFB=∠DCE，求出∠BFC=∠ECF，推出BF∥EC，根據(jù)平行四邊形的判定推出四邊形BCEF是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定推出即可．

解答： （1）解：∵∠CEF=90°．
∴cos∠ECF=

CE

CF

．
∵∠ECF=30°，CF=8．
∴CF=CF•cos30°=8×

3

2

=4

3

；

（2）證明：∵AB∥DE，
∴∠A=∠D，
∵在△ABF和△DEC中

AB=DE ∠A=∠D AF=DC

∴△ABF≌△DEC  （SAS）；

（3）證明：由（2）可知：△ABF≌△DEC，
∴BF=CE，∠AFB=∠DCE，
∵∠AFB+∠BFC=180°，∠DCE+∠ECF=180°，
∴∠BFC=∠ECF，
∴BF∥EC，
∴四邊形BCEF是平行四邊形，
∵∠CEF=90°，
∴四邊形BCEF是矩形．

點評：本題考查了解直角三角形，平行四邊形的判定，矩形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，綜合運用性質(zhì)定理進行推理是解此題的關(guān)鍵，難度適中．