Question

如圖，在直角坐標系中，直線AB經點P（3，4），與坐標軸正半軸相交于A，B兩點，當△AOB的面積最小時，△AOB的內切圓的半徑是（　　）

• A、2
• B、3.5
• C、

  14-7 2

  2

• D、4

Answer 1

考點：三角形的內切圓與內心,坐標與圖形性質

專題：壓軸題,探究型

分析：設直線AB的解析式是y=kx+b，把P（3，4）代入求出直線AB的解析式是y=kx+4-3k，求出OA=4-3k，OB=

3k-4

k

，求出△AOB的面積是

1

2

•OB•OA=12-

9k2+16

k

=12-（9k+

16

k

），根據-9k-

16

k

≥2

-9k• 16 k

=24和當且僅當-9k=-

16

k

時，取等號求出k=-

4

3

，求出OA=4-3k=8，OB=

3k-4

k

=6，設三角形AOB的內切圓的半徑是R，由三角形面積公式得：

1

2

×6×8=

1

2

×6R+

1

2

×8R+

1

2

×10R，求出即可．

解答：解：設直線AB的解析式是y=kx+b，
把P（3，4）代入得：4=3k+b，
b=4-3k，
即直線AB的解析式是y=kx+4-3k，
當x=0時，y=4-3k，
當y=0時，x=

3k-4

k

，
即A（0，4-3k），B（

3k-4

k

，0），
△AOB的面積是

1

2

•OB•OA=

1

2

•

3k-4

k

•（4-3k）=12-

9k2+16

k

=12-（9k+

16

k

），
∵要使△AOB的面積最小，
∴必須

9k2+16

k

最大，
∵k＜0，
∴-k＞0，
∵-9k-

16

k

≥2

-9k• 16 k

=2×12=24，
當且僅當-9k=-

16

k

時，取等號，解得：k=±

4

3

，
∵k＜0，
∴k=-

4

3

，
即OA=4-3k=8，OB=

3k-4

k

=6，
根據勾股定理得：AB=10，
設三角形AOB的內切圓的半徑是R，
由三角形面積公式得：

1

2

×6×8=

1

2

×6R+

1

2

×8R+

1

2

×10R，
R=2，
故選A．

點評：本題考查了勾股定理，取最大值，三角形的面積，三角形的內切圓等知識點的應用，關鍵是求OA和OB的值，本題比較好，但是有一定的難度．