Question

已知，如圖（甲），正方形ABCD的邊長為2，點M是BC的中點，P是線段MC上的一個動點，P不運動到M和C，以AB為直徑做⊙O，過點P作⊙O的切線交AD于點F，切點為E．
（1）求四邊形CDFP的周長；
（2）試探索P在線段MC上運動時，求AF•BP的值；
（3）延長DC、FP相交于點G，連接OE并延長交直線DC于H（如圖乙），是否存在點P，使△EFO∽△EHG？如果存在，試求此時的BP的長；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=90°
∴AF、BP都是⊙O的切線
又∵PF是⊙O的切線
∴FE=FA，PE=PB
∴四邊形CDFP的周長為AD+DC+CB=2×3=6；

（2）連接OE，
∵PF是⊙O的切線
∴OE⊥PF
在Rt△AOF和Rt△EOF中
∵AO=EO，OF=OF
∴Rt△AOF≌Rt△EOF
∴∠AOF=∠EOF
同理∠BOP=∠EOP
∴∠EOF+∠EOP=180°=90°，∠FOP=90°
即OF⊥OP
∴AF•BP=EF•PE=OE²=1；

（3）存在．
當∠G=30°時．∠GFD=60°．
∵∠EOF=∠AOF
∴∠EHG=∠AOE=2∠EOF
∴當∠EFO=∠EHG=2∠EOF，即∠EOF=30°時，Rt△EFO∽Rt△EHG
此時∠EOF=30°，∠BOP=∠EOP=90°-30°=60°
∴BP=OB•tan60°=．
分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)，將所求四邊形CDFP的邊轉化為已知正方形ABCD的邊，即可求得；
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)，將所求AF，BP轉化為直角△FOP的斜邊FP，再由直角三角形的性質(zhì)OE²=EF•EP，即可求得；
（3）要△EFO∽△EHG，必須∠EHG=∠EFO=2∠EOF=60°，在直角△OBP中，由正切定理可求出BP的長．
點評：此題將正方形與圓結合，考查了切線的性質(zhì)和相似三角形的判定，運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．并多次運用直角三角形的性質(zhì)，綜合性強．