Question

已知等邊△ABC，JP在射線BA上.

BA

AP

=n，（n≠1）
（1）如圖1，當n=2時，過點P作PF⊥BC于F，交AC于點E．求證：AE=EC；
（2）如圖2，點D在BC的延長線上，BC=CD，PC=PD，求n的值；
（3）若點P在射線BA上，D在直線BC上，PC=PD，那么

AC

CD

=

n

1-n

（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質可得∠B=∠BAC=∠C=60°，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠P=30°，然后求出∠AEP=30°，從而得到∠P=∠AEP，根據(jù)等角對等邊可得AP=AE，然后根據(jù)n=2求出AB=2AP，再求出AC=2AE，從而得到AE=EC；
（2）過P作PM∥AC交BC的延長線于M，然后求出△BPM是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質可得PB=PM，再利用“角角邊”證明△PBC和△PMD 全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等BC=DM，然后求出BP=3BA，再求出

BA

AP

即可得解；
（3）與（2）的求解相同求出BC=DM，列出n的表示，然后整理即可得到

AC

CD

的值．

解答：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠BAC=∠C=60°，
∵PF⊥BC，
∴∠P=30°，
∴∠AEP=∠BAC-∠P=30°，
∴∠P=∠AEP，
∴AP=AE，
∵n=2，
∴AB=2AP，而AB=AC，
∴AC=2AE，
∴AE=EC．

（2）證明：如圖2，過P作PM∥AC交BC的延長線于M．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠M=∠ACB=60°，∠APM=∠BAC=60°，
∴△BPM是等邊三角形，
∴PB=PM，
∵PC=PD，
∴∠PCD=∠PDC，
∴∠PCB=∠PDM，
在△PBC和△PMD中，

∠B=∠M=60° ∠PCB=∠PDM PB=PM

，
∴△PBC≌△PMD （AAS），
∴BC=DM，
∵BC=CD，
∴BC=CD=DM=

1

3

BM，
又∵BC=BA，BM=BP，
∴BP=3BA，
∴AP=2AB，
∴n=

BA

AP

=

1

2

；

（3）解：如圖3，
與（2）方法相同求出BC=DM，
所以，n=

BA

AP

=

AC

CD+DM

=

AC

CD+AC

，
∴

AC

CD

=

n

1-n

．
故答案為：

n

1-n

．

點評：本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，過某一點作已知等邊三角形某邊的平行線構造一個新的等邊三角形，這是解決等邊三角形常用的方法之一．