Question

（2010•泉港區(qū)質(zhì)檢）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)C（1，1）為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A，B兩點(diǎn)．
（1）求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若有一條開口向下的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，B，且其頂點(diǎn)P在⊙C上，請求出此拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）過C作AB的垂線，設(shè)垂足為H，在Rt△CAH中，已知圓的半徑和CH的長（由C點(diǎn)坐標(biāo)獲得），利用勾股定理即可求得AH的長，進(jìn)而可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，B點(diǎn)坐標(biāo)的求法相同．
（2）根據(jù)拋物線和圓的對(duì)稱性知：C、P都在弦AB的垂直平分線上，已知了C點(diǎn)坐標(biāo)和圓的半徑，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，而P為拋物線頂點(diǎn)，可將所求拋物線設(shè)為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，然后將A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)的值，從而求出該拋物線的解析式．
解答：解：（1）過點(diǎn)C作CH⊥x軸，H為垂足；
又∵C（1，1），
∴CH=OH=1；（1分）
∴在Rt△CHB中，；（3分）
∵CH⊥AB，CA=CB，
∴AH=BH；
故A（1-，0），B（1+，0）．（5分）

（2）由圓與拋物線的對(duì)稱性可知拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，3）；（6分）
∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²+3，
由已知得拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（1+，0），（7分）
把點(diǎn)B（1+，0）代入上式，
解得a=-1，（8分）
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+2．（9分）
（利用拋物線經(jīng)過P（1，3），A（1-，0），B（1+，0）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂徑定理、勾股定理、拋物線和圓的對(duì)稱性、二次函數(shù)解析式的確定等知識(shí)，雖然涉及知識(shí)點(diǎn)較多，但難度不大．