Question

如圖，AB為⊙O直徑，直線MN交⊙O于C、D兩點，AE⊥MN于E，BF⊥MN于F．
（1）求證：CE=DF；
（2）若MN向上平移，與AB相交于點P，如果其他條件不變，那么（1）是否仍成立？

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理,梯形中位線定理

專題：計算題

分析：（1）過點O作OG⊥CD于G，如圖，根據(jù)垂徑得CG=DG，然后證明OG為梯形ABFE的中位線，得到GE=GF，于是有CE=DF；
（2）過點O作OG⊥CD于G，根據(jù)垂徑定理得CG=DG，由于AE⊥EF，OG⊥EF，BF⊥EF，得到AE∥OG∥BF，根據(jù)平行線等分線段定理得到GC=GD，則CG-EG=DG-FG，即CE=DF．

解答：（1）證明：過點O作OG⊥CD于G，如圖，則CG=DG，
∵AE⊥EF，OG⊥EF，BF⊥EF，
∴AE∥OG∥BF，
∵OA=OB，
∴OG為梯形ABFE的中位線，
∴GE=GF，
∴EG-CG=FG-DG，
即CE=DF；

（2）解：（1）中的結(jié)論仍成立．理由如下：
過點O作OG⊥CD于G，則CG=DG，


∵AE⊥EF，OG⊥EF，BF⊥EF，
∴AE∥OG∥BF，GC=GD，
∴EG=FG，
∴CG-EG=DG-FG，
即CE=DF．

點評：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條�。�也考查了梯形的中位線定理．