Question

如圖，直線y=3x+m交x軸于點A，交y軸于點B（0，3），過A、B兩點的拋物線交x軸于另一點C（3，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在該拋物線的對稱軸上找一點P，使PA+PB最小，求出點P的坐標；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）y=-x2+2x+3.（2）P（1，2），（3）Q1（1，）Q2（1，-），Q3（1，0），Q4（1，1）.

【解析】

試題分析：（1）由直線y=3x+m交y軸于點B，求出m的值，可得出A的坐標，把A（-1，0），B（0，3），C（3，0）代入y=ax2+bx+c，即可得出拋物線的解析式，

（2）連接BC，交對稱軸一點，此點就是點P，使PA+PB最小，求出直線BC的解析式，再利用對稱軸為x=1，即可得出點P的坐標，

（3）利用①當AQ=AB時，△ABQ是等腰三角形，②當BQ=AB時，△ABQ是等腰三角形，③當BQ=AQ時，△ABQ是等腰三角形，分別求出點Q的坐標．

試題解析：（1）∵直線y=3x+m交y軸于點B（0，3），

∴m=3，

∴直線y=3x+3，

∴A（-1，0），

把A（-1，0），B（0，3），C（3，0）代入y=ax2+bx+c，得

，

解得．

∴拋物線的解析式y(tǒng)=-x2+2x+3.

（2）如圖1，連接BC，交對稱軸一點，此點就是點P，使PA+PB最小，

∵A，C關(guān)于對稱軸對稱，

∴此時PA+PB最小，

∵B（0，3），C（3，0）

∴直線BC的解析式為：y=-x+3，

∵對稱軸為x=1，

∴P（1，2），

（3）存在

①如圖2，當AQ=AB時，△ABQ是等腰三角形，

∵AB=

∴AQ=

∴DQ=±

∴Q1（1，）Q2（1，-）

②如圖3，當BQ=AB時，△ABQ是等腰三角形，

∵OA=1，OQ=1

∴Q3（1，0），

③如圖4，當BQ=AQ時，△ABQ是等腰三角形，

設Q（1，t），

∵A（-1，0），B（0，3），

∴（1+1）2+t2=12+（t-3）2，解得t=1，

∴Q4（1，1）

綜上的所述：Q1（1，）Q2（1，-），Q3（1，0），Q4（1，1）.

考點：二次函數(shù)綜合題．