Question

給定一個矩形，如果存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的2倍，則這個矩形是給定矩形的“加倍”矩形，如圖，矩形A₁B₁C₁D₁是矩形ABCD的“加倍”矩形，請你解決下列問題：

（1）邊長為a的正方形存在“加倍”正方形嗎？如果存在，求出“加倍”正方形的邊長；如果不存在，說明理由。
（2）當(dāng)矩形的長和寬分別為m，n時，它是否存在“加倍”矩形？請作出判斷，說明理由。

Answer 1

解：（1）不存在　　
因為兩個正方形是相似圖形，當(dāng)它們的周長比為2時，則面積比必定是4，所以不存在。
（2）存在
設(shè)“加倍”矩形的長和寬分別為x，y
則
x，y就是關(guān)于A的方程的兩個正根
∵
當(dāng)m，n不同時為零時，此題中，m＞0，n＞0
∴
∴方程有兩個不相等的正實數(shù)根x和y
即：存在一個矩形是已知矩形的“加倍”矩形。