Question

如圖，已知Rt△ABC中，∠A=30°，AC=6，邊長(zhǎng)為4的等邊△DEF沿射線AC運(yùn)動(dòng)（A、D、E、C四點(diǎn)共線），使邊DF、EF與邊AB分別相交于點(diǎn)M、N（M、N不與A、B重合）．
（1）求證：△ADM是等腰三角形；
（2）設(shè)AD=x，△ABC與△DEF重疊部分的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出x的取值范圍；
（3）是否存在一個(gè)以M為圓心，MN為半徑的圓與邊AC、EF同時(shí)相切？如果存在，請(qǐng)求出圓的半徑；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）本題主要通過(guò)等角對(duì)等邊來(lái)解決的．
（2）此題的關(guān)鍵是通過(guò)解直角三角形求出直角△FMN的MN和FN（用含X的表達(dá)式表示出來(lái)），從而得出△FMN的面積，再用△FDE的面積減△FMN得面積就得出了Y的面積表達(dá)式．注意兩種情況．
（3）此題主要通過(guò)找出一個(gè)簡(jiǎn)單的等量關(guān)系列出方程從而解決問(wèn)題．

解答：解：（1）證明：

∵△DEF是等邊三角形，
∴∠FDE=60°，
∴∠AMD=∠FDE-∠A=30°，
∴∠AMD=∠A，
∴DM=DA，
∴△ADM是等腰三角形．（4分）

（2）解：∵△ADM是等腰三角形，

∴DM=AD=x，F(xiàn)M=4-x，
又∵∠FED=60°，∠A=30°，
∴∠FNM=90°，
∴MN=MF•sinF=（4-x）•

3

2

=

3

2

（4-x），
FN=

1

2

MF=

1

2

（4-x）．
y=S_△FMN=

1

2

MN•FN=

1

2

•

3

2

（4-x）•

1

2

（4-x）=

3

8

（4-x）²．（5分）
當(dāng)0＜x≤2時(shí)，
y=S_{四邊形DENM}=S_△FDE-S_△FMN=4

3

-

3

8

(4-x)2=-

3

8

x2+

3

x+2

3

．（7分）
當(dāng)2≤x＜4時(shí)，

CD=6-x，
∵∠BCE=90°，∠PDC=60°，
∴PC=

3

（6-x）．
∴y=S_△PCD=

1

2

•

3

（6-x）•（6-x）=

3

2

（6-x）²．

（3）過(guò)點(diǎn)M作MG⊥AC于點(diǎn)G，由（2）得DM=x

∵∠MDG=60°，
∴MG=

3

2

x
∴∠MNF=90°
∴MN⊥FC
要使以點(diǎn)M為圓心，MN長(zhǎng)為半徑的圓與邊AC、EF相切，
則有MG=MN（11分）
即：

3

2

x=

3

2

(4-x)
解得x=2（12分）．
圓的半徑MN=

3

2

(4-2)=

3

（13分）．
（注：如果學(xué)生有不同的解題方法，只要正確，可參考評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，酌情給分．）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查學(xué)生對(duì)切線的性質(zhì)，解直角三角形及二次函數(shù)等綜合知識(shí)的理解掌握及運(yùn)用的程度．解題的關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，理解題意，將形的問(wèn)題利用代數(shù)方法去解決．