Question

已知：△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，P為弧BC上一點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），
（1）如果點(diǎn)P是弧BC的中點(diǎn)，求證：PB+PC=PA；
（2）如果點(diǎn)P在弧BC上移動時，（1）的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連OB，OC，由點(diǎn)P是弧BC的中點(diǎn)，△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，根據(jù)垂徑定理的推論得到AP為⊙O的直徑，易得△OBP和△OPC都是等邊三角形，于是得到結(jié)論；
（2）截取PE=PC，則△PEC為等邊三角形，得到CE=CP，∠PCE=60°，易證△CAE≌△CBP，得到AE=PB，即有PB+PC=PA．
解答：解：（1）連OB，OC，如圖
∵點(diǎn)P是弧BC的中點(diǎn)，△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，
∴AP為⊙O的直徑，
∴∠BPO=∠ACB，∠APC=∠ABC，
∵△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∴∠BPO=∠APC=60°，
∴△OBP和△OPC都是等邊三角形，
∴PB=PC=OP=OA，
∴PB+PC=PA；

（2）（1）的結(jié)論還成立．理由如下：
截取PE=PC，
∵∠APC=60°，
∴△PEC為等邊三角形，
∴CE=CP，∠PCE=60°，
而∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠BCP，
而CA=CB，
∴△CAE≌△CBP，
∴AE=PB，
∴PB+PC=PA．
點(diǎn)評：本題考查了圓周角定理：同弧所對的圓周角相等，也考查了等邊三角形的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)以及證明一條線段等于兩條線段和的方法．