Question

如圖10-1，已知AB是⊙O的直徑，直線l與⊙O相切于點B，直線m垂直AB于點C，交⊙O于P、Q兩點. 連結AP，過O作OD∥AP交l于點D，連接AD與m交于點M.

(1) 如圖10-2，當直線m過點O時，求證：M是PO的中點；

(2) 如圖10-1，當直線m不過點O時，M是否仍為PC的中點？證明你的結論.

Answer 1

(1) 證明：連接PD，

∵ 直線m垂直AB于點C，直線l與⊙O相切于點B，AB為直徑，

∴ ∠POA=∠DBA=90°.

又∵ AP∥OD，∴ ∠PAO=∠DOB. ··················· 1分

又∵ AO=BO，∴ △APO≌△ODB. ··················· 2分

∴ AP=OD，∴ 四邊形APDO是平行四邊形，··············· 3分

∴ M是PO的中點. ························· 4分

(其他解法：證△APO≌△ODB后，據(jù)中位線定理證；或證△DPO≌△DBO，得∠DPO=∠DBO=90°，從而證四邊形APDO是平行四邊形等.)

(2)  M是PC的中點. 證明如下：

∵AP∥OD，∴ ∠PAO=∠DOB，又 ∠PCA=∠DBO=90°，

∴ △APC∽△ODB，∴ .①·················· 5分

又易證△ACM∽△ABD，∴ .················· 6分

又∵ AB=2OB，∴ ，∴.②············ 7分

由①②得，，∴ PC=2MC，即M是PC的中點.········· 8分