Question

某市政府出臺(tái)了相關(guān)政策：由政府協(xié)調(diào)，本市企業(yè)按成本價(jià)提供產(chǎn)品給大學(xué)畢業(yè)生自主銷售，成本價(jià)與出廠價(jià)之間的差價(jià)由政府承擔(dān)．某生按照相關(guān)政策投資銷售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈．已知這種節(jié)能燈的成本價(jià)為每件10元，出廠價(jià)為每件12元，每月銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)：y=﹣10x+500．

（1）該生在開始創(chuàng)業(yè)的第一個(gè)月將銷售單價(jià)定為20元，那么政府這個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為多少元？

（2）設(shè)李明獲得的利潤為w（元），當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤？

（3）物價(jià)部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價(jià)不得高于25元．如果李明想要每月獲得的利潤不低于300元，那么政府為他承擔(dān)的總差價(jià)最少為多少元？

Answer 1

解：（1）當(dāng)x=20時(shí)，y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300，

300×（12﹣10）=300×2=600，即政府這個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為600元．

（2）依題意得，w=（x﹣10）（﹣10x+500）=﹣10x2+600x﹣5000=﹣10（x﹣30）2+4000

∵a=﹣10＜0，∴當(dāng)x=30時(shí)，w有最大值4000．

即當(dāng)銷售單價(jià)定為30元時(shí)，每月可獲得最大利潤4000．

（3）由題意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000，解得：x₁=20，x₂=40．

∵a=﹣10＜0，拋物線開口向下，

∴結(jié)合圖象可知：當(dāng)20≤x≤40時(shí)，w≥3000．又∵x≤25，

∴當(dāng)20≤x≤25時(shí)，w≥3000．設(shè)政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為p元，

∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）=﹣20x+1000．

∵k=﹣20＜0．∴p隨x的增大而減小，

∴當(dāng)x=25時(shí)，p有最小值500．

即銷售單價(jià)定為25元時(shí)，政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)最少為500元．