28、(1)如圖1,已知點P在正三角形ABC的邊BC上,以AP為邊作正三角形APQ,連接CQ.
①求證:△ABP≌△ACQ;
②若AB=6,點D是AQ的中點,直接寫出當(dāng)點P由點B運(yùn)動到點C時,點D運(yùn)動路線的長.
(2)已知,△EFG中,EF=EG=13,F(xiàn)G=10.如圖2,把△EFG繞點E旋轉(zhuǎn)到△EF′G′的位置,點M是邊EF′與邊FG的交點,點N在邊EG′上且EN=EM,連接GN.求點E到直線GN的距離.
分析:(1)①根據(jù)正三角形的性質(zhì)知∠BAC=∠PAQ=60°,所以∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC;然后再由等邊三角形的邊都相等知AB=AC,AP=AQ;從而根據(jù)全等三角形的判定定理SAS來證明△ABP≌△ACQ;
(2)作輔助線“過點E作底邊FG的垂線,點H為垂足”構(gòu)建直角三角形,然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)先證明△EFM≌△EGN(SAS);最后求得∠ENG=∠EMF=90°、EM=12,即點E到直線GN的距離是12.
解答:解:(1)①∵三角形ABC和三角形APQ是正三角形,
∴AB=AC,AP=AQ,∠BAC=∠PAQ.
∴∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC.
∴∠BAP=∠CAQ.所以△ABP≌△ACQ.(3分)
②3(5分)

(2)解法一:過點E作底邊FG的垂線,點H為垂足.
在△EFG中,易得EH=12.(6分)類似(1)可證明△EFM≌△EGN,(7分)
∴∠EFM=∠EGN.
∵∠EFG=∠EGF,
∴∠EGF=∠EGN,
∴GE是∠FGN的角平分線,(9分)
∴點E到直線FG和GN的距離相等,
∴點E到直線GN的距離是12.(10分)
解法二:過點E作底邊FG的垂線,點H為垂足.
過點E作直線 GN的垂線,點K為垂足.
在△EFG中,易得EH=12.(6分)類似(1)可證明△EFM≌△EGN,(7分)
∴∠EFM=∠EGN.可證明△EFH≌△EGK,(9分)
∴EH=EK.所以點E到直線GN的距離是12.(10分)
解法三:把△EFG繞點E旋轉(zhuǎn),對應(yīng)著點M在邊FG上從點F開始運(yùn)動.
由題意,在運(yùn)動過程中,點E到直線GN的距離不變.
不失一般性,設(shè)∠EMF=90°.類似(1)可證明△EFM≌△EGN,
∴∠ENG=∠EMF=90°.
求得EM=12.
∴點E到直線GN的距離是12. (酌情賦分)
點評:本題考查了全等三角形是判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì).解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的三邊關(guān)系及三個內(nèi)角的關(guān)系證明△ABP≌△ACQ和△EFM≌△EGN.
練習(xí)冊系列答案
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如圖1,已知點A(0,4
3
)
,點B在x軸正半軸上,且∠ABO=30°,動點P在線段AB上從點A向點B以每秒
3
個單位的速度運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動時間為t秒,在x軸上取兩點M、N作等邊△PMN.
精英家教網(wǎng)
(1)求直線AB的解析式;
(2)求等邊△PMN的邊長(用t的代數(shù)式表示),并求出當(dāng)頂點M運(yùn)動到與原點O重合時t的值;
(3)如圖2,如果取OB的中點D,以O(shè)D為邊在Rt△AOB內(nèi)部作矩形ODCE,點C在線段AB上,從點P開始運(yùn)動到點M與原點O重合這一過程中,設(shè)等邊△PMN和矩形ODCE重疊部分的面積為S,請求出S與t的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量t的取值范圍.

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23、如圖,過已知點A作直線a的平行線和垂線,并量出點A到直線a的距離.

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(2013•鹽城模擬)如圖1,已知點A(a,0),B(0,b),且a、b滿足
a+1
+(a+b+3)2=0
,?ABCD的邊AD與y軸交于點E,且E為AD中點,雙曲線y=
k
x
經(jīng)過C、D兩點.
(1)求k的值;
(2)點P在雙曲線y=
k
x
上,點Q在y軸上,若以點A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形,試求滿足要求的所有點P、Q的坐標(biāo);
(3)以線段AB為對角線作正方形AFBH(如圖3),點T是邊AF上一動點,M是HT的中點,MN⊥HT,交AB于N,當(dāng)T在AF上運(yùn)動時,
MN
HT
的值是否發(fā)生改變?若改變,求出其變化范圍;若不改變,請求出其值,并給出你的證明.

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(1)如圖1,在正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長均為1個單位.將△ABC向繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△A'B'C',請你畫出△A'B'C'(不要求寫畫法).
(2)如圖2,已知點O和△ABC,試畫出與△ABC關(guān)于點O成中心對稱的圖形.

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如圖1,已知點D為等腰直角△ABC內(nèi)一點,∠ACB=90°,∠CAD=∠CBD=15°,E為AD延長線上的一點,且CE=CA.
(1)請在圖1中,找出與AD相等的線段,并說明理由;
(2)求∠DCA的大小;
(3)若點M在DE上,如圖2,且DC=DM,求證:ME=BD.

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