Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)M（1，-1）為圓心，以為半徑作圓，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（c≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C，頂點(diǎn)為E．
（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）設(shè)∠DBC=α，∠CBE=β，求sin（α-β）的值；
（3）坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)M（1，-1）為圓心，半徑為
∴OA=1，OB=3，OC=3，OD=1，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，3），D（0，1），
設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a（x-x₁）（x-x²）（a≠0）
解得：a=1，x₁=-1，x₂=3，
∴二次函數(shù)表達(dá)式為y=（x+1）（x-3）
整理成一般式為y=x²-2x-3；

（2）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥y軸于點(diǎn)F
∵B（3，0），C（0，3），
∴可得BC=3
∵點(diǎn)E為二次函數(shù)y=x²-2x-3的頂點(diǎn)
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，-4）
∴CE=
∵CO=BO，CF=EF，
∴∠OCB=∠ECF=45°
∴∠BCE=90°
∵在Rt△BCE中與Rt△BOD中，
tan∠OBD==，tan∠CBE==，
∴∠CBE=∠OBD=β，
∴sin（α-β）=sin（∠DBC-∠OBD）=sin∠OBC==；

（3）顯然 Rt△COA∽R(shí)t△BCE，此時(shí)點(diǎn)P₁（0，0）
過(guò)A作AP₂⊥AC交y正半軸于P₂，由Rt△CAP₂∽R(shí)t△BCE，得P₂（0，），
過(guò)C作CP₃⊥AC交x正半軸于P₃，由Rt△P₃CA∽R(shí)t△BCE，得P₃（9，0）
故在坐標(biāo)軸上存在三個(gè)點(diǎn)P₁（0，0），P₂（0，），P₃（9，0），使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與BCE相似．
分析：（1）由點(diǎn)M（1，-1）為圓心，半徑為，可求∴A（-1，0），B（3，0），C（0，3），D（0，1），再根據(jù)待定系數(shù)法可求二次函數(shù)表達(dá)式；
（2）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥y軸于點(diǎn)F，在Rt△BCE中與Rt△BOD中，根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)可得∠CBE=∠OBD=β，進(jìn)一步得到sin（α-β）的值；
（3）分三種情況：Rt△COA∽R(shí)t△BCE；過(guò)A作AP₂⊥AC交y正半軸于P₂；過(guò)C作CP₃⊥AC交x正半軸于P₃；討論得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、以及三角函數(shù)．此題綜合性很強(qiáng)，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類(lèi)討論思想的應(yīng)用．