【題目】如圖,已知拋物線圖象經(jīng)過A(﹣1,0),B(4,0)兩點.

1)求拋物線的解析式;

2)若Cm,m﹣1)是拋物線上位于第一象限內(nèi)的點,D是線段AB上的一個動點(不與端點AB重合),過點D分別作DEBCACE,DFACBCF

①求證:四邊形DECF是矩形;

②試探究:在點D運動過程中,DE、DF、CF的長度之和是否發(fā)生變化?若不變,求出它的值;若變化,試說明變化情況.

【答案】(1) ;2①證明見解析; ②不變, .

【解析】試題分析:(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可求得;

2)把Cm,m-1)代入y=-x2+x+2求得點C的坐標,從而求得AH=4CH=2,BH=1,AB=5,然后根據(jù)=2AHC=BHC=90°得出AHC∽△CHB,根據(jù)相似三角形的對應角相等求得∠ACH=CBH,因為∠CBH+BCH=90°所以∠ACH+BCH=90°從而求得∠ACB=90°,先根據(jù)有兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形求得四邊形DECF是平行四邊形,進而求得□DECF是矩形;

3)根據(jù)矩形的對角線相等,求得EF=CD,因為當CDAB時,CD的值最小,此時CD的值為2,所以EF的最小值是2;

試題解析:

(1)∵拋物線y=+bx+c圖象經(jīng)過A1,0),B40)兩點,

根據(jù)題意,得

解得

∴拋物線的解析式為: ;

2①證明:把Cmm1)代入

,

解得:m=3m=﹣2,

Cmm﹣1)位于第一象限,

m1,

m=﹣2不合舍去,只取m=3,

∴點C坐標為(3,2.

如圖,過C點作CHAB,垂足為H,則∠AHC=BHC=90°

A﹣1,0)、B30)、C3,2)得 AH=4,CH=2,BH=1,AB=5

AHC=BHC=90°

∴△AHC∽△CHB,

∴∠ACH=CBH,

∵∠CBH+BCH=90°

∴∠ACH+BCH=90°

∴∠ACB=90°,

DEBC,DFAC

即四邊形DECF是平行四邊形,

∴四邊形DECF是矩形;

3DEBC

ΔAEDΔACB

1

同理: 2

,

(1)

(2)

DEDF、CF的長度之和不變.

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(2)請用兩種不同的方法求圖2中陰影部分的面積:

方法1: ;

方法2: ;

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