Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的對(duì)稱軸為y軸，且經(jīng)過（0，0）和（

a

，

1

16

）兩點(diǎn)，點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P為圓心的⊙P總經(jīng)過定點(diǎn)A（0，2）．
（1）求a，b，c的值；
（2）求證：在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，⊙P始終與x軸相交；
（3）設(shè)⊙P與x軸相交于M（x₁，0），N（x₂，0）（x₁＜x₂）兩點(diǎn)，當(dāng)△AMN為等腰三角形時(shí)，求圓心P的縱坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)題意得出二次函數(shù)一般形式進(jìn)而將已知點(diǎn)代入求出a，b，c的值即可；
（2）設(shè)P（x，y），表示出⊙P的半徑r，進(jìn)而與

1

4

x²比較得出答案即可；
（3）分別表示出AM，AN的長(zhǎng)，進(jìn)而分別利用當(dāng)AM=AN時(shí)，當(dāng)AM=MN時(shí)，當(dāng)AN=MN時(shí)，求出a的值，進(jìn)而得出圓心P的縱坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的對(duì)稱軸為y軸，且經(jīng)過（0，0）和（

a

，

1

16

）兩點(diǎn)，
∴拋物線的一般式為：y=ax²，
∴

1

16

=a（

a

）²，
解得：a=±

1

4

，
∵圖象開口向上，
∴a=

1

4

，
∴拋物線解析式為：y=

1

4

x²，
故a=

1

4

，b=c=0；

（2）設(shè)P（x，y），⊙P的半徑r=

x2+(y-2)2

，
又∵y=

1

4

x²，則r=

x2+( 1 4 x2-2)2

，
化簡(jiǎn)得：r=

1 16 x4+4

＞

1

4

x²，
∴點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，⊙P始終與x軸相交；

（3）設(shè)P（a，

1

4

a²），
∵PA=

1 16 a4+4

，
作PH⊥MN于H，
則PM=PN=

1 16 a4+4

，
又∵PH=

1

4

a²，
則MH=NH=

1 16 a4+4-( 1 4 a2)2

=2，
故MN=4，
∴M（a-2，0），N（a+2，0），
又∵A（0，2），
∴AM=

(a-2)2+4

，AN=

(a+2)2+4

，
當(dāng)AM=AN時(shí)，

(a-2)2+4

=

(a+2)2+4

，
解得：a=0，
當(dāng)AM=MN時(shí)，

(a-2)2+4

=4，
解得：a=2±2

3

，則

1

4

a²=4±2

3

；
當(dāng)AN=MN時(shí)，

(a+2)2+4

=4，
解得：a=-2±2

3

，則

1

4

a²=4±2

3

；
綜上所述，P的縱坐標(biāo)為：0或4+2

3

或4-2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，根據(jù)題意利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出是解題關(guān)鍵．