Question

【題目】如圖所示，⊙O的內(nèi)接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=15°，AD∥OC并交BC的延長線于D點(diǎn)，OC交AB于E點(diǎn)．

（1）求∠D的度數(shù)；
（2）求證：AC2=ADCE．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OA，如圖所示：

∵圓周角∠ABC與圓心角∠AOC所對(duì)的弧都為 ，

∴∠AOC=2∠ABC，又∠ABC=15°，

∴∠AOC=30°，

又OA=OC，∴∠OAC=∠OCA= =75°，

又∠BAC=45°，∠ABC=15°，

∴∠ACB=120°，

∴∠OCB=∠ACB﹣∠ACO=120°﹣75°=45°，

又OC∥AD，

∴∠D=∠OCB=45°

（2）證明：∵∠ABC=15°，∠OCB=45°，

∴∠AEC=60°，

又∠ACB=120°∴∠ACD=60°，

∴∠AEC=∠ACD=60°，

∵∠D=45°，∠ACD=60°，

∴∠CAD=75°，又∠OCA=75°，

∴∠CAD=∠OCA=75°，

∴△ACE∽△DAC，

∴ = ，即AC2=ADCE

【解析】（1）連接OA，由圓周角∠ABC與圓心角∠AOC所對(duì)的弧為同一條弧，根據(jù)同弧所對(duì)的圓心角等于所對(duì)圓周角的2倍，由∠ABC的度數(shù)求出∠AOC的度數(shù)，再由OA=OC，根據(jù)等邊對(duì)等角，由頂角∠AOC的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理求出底角∠ACO的度數(shù)，再由∠BAC及∠ABC的度數(shù)，求出∠ACB的度數(shù)，由∠ACB﹣∠ACO求出∠BCE的度數(shù)，由OC與AD平行，根據(jù)兩直線平行同位角相等可得∠D=∠BCE，可得出∠D的度數(shù)；（2）由∠ACB的度數(shù)，利用鄰補(bǔ)角定義求出∠ACD的度數(shù)，再由∠AEC為三角形BEC的外角，利用外角性質(zhì)得到∠AEC=∠ABC+∠BCE，可得出∠AEC的度數(shù)，進(jìn)而得到∠AEC=∠ACD，在三角形ACD中，由∠ACD及∠D的度數(shù)，求出∠CAD的度數(shù)，可得∠CAD=∠ACE，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似可得三角形AEC與三角形DCA相似，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得證．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解圓周角定理的相關(guān)知識(shí)，掌握頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半，以及對(duì)相似三角形的判定與性質(zhì)的理解，了解相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．