Question

AB∥CD，直線a交AB、CD分別于點(diǎn)E、F上，P是直線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與F重合），且∠FMP=∠FPM．
（1）如圖（1），當(dāng)點(diǎn)P在射線FC上移動(dòng)時(shí)，若∠AEF=60°，則∠FPM=

30°

．
（2）如圖（1），當(dāng)點(diǎn)P在射線FC上移動(dòng)時(shí)，則∠FPM與∠AEF的關(guān)系是

∠FPM=

1

2

∠AEF

．
（3）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)P在射線FD上移動(dòng)時(shí)，∠FPM與∠AEF有什么關(guān)系？請(qǐng)說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠MFD的度數(shù)，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求解即可；
（2）根據(jù)（1）的求解整理即可得解；
（3）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等表示出∠MFD，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式整理即可得解．

解答：解：（1）∵AB∥CD，∠AEF=60°，
∴∠MFD=∠AEF=60°，
∵∠FMP=∠FPM，
∴在△PFM中，∠MFD=∠FMP+∠FPM=2∠FPM=60°，
解得∠FPM=30°；

（2）同（1），∠AEF=∠MFD=∠FMP+∠FPM=2∠FPM，
∴∠FPM=

1

2

∠AEF；

（3）∠FPM與∠AEF的關(guān)系是：∠FPM=90°-

1

2

∠AEF．
理由如下：∵AB∥CD，
∴∠MFD=∠AEF，
∵∠MFP+∠FMP+∠FPM=180°，
∴∠FMP+∠FPM=180°-∠MFP=180°-∠AEF，
∵∠FMP=∠FPM，
∴∠FMP=

1

2

（180°-∠AEF）=90°-

1

2

∠AEF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，是基礎(chǔ)題，難度不大．