【題目】ABC中,∠ACB=90,ACBC=1,E、F為線段AB上兩動點,且∠ECF=45°,過點EF分別作BC、AC的垂線相交于點M,垂足分別為H、G.現(xiàn)有以下結論:

AB②當點E與點B重合時,MHAFBEEF;F、E分別不與端點A、B重合時,總有SAGF+ SEBH= SFEM,其中正確結論為--------------------------( )

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④

【答案】B

【解析】(1)∵在△ABC中,∠ACB90ACBC1,

∴AB=,正確;

(2)如下圖1,當點E與點B重合時,H與點B重合,

∴MB⊥BC,∠MBC=90°,

∵MG⊥AC,

∴∠MGC=∠C=∠MBC=90°,

∴MG∥BC,四邊形MGCB是矩形,

∴MH=MB=CG,

∵∠FCE=45°=∠ABC,∠A=45°=∠ACF,

∴AF=CF=BF,

∴FG△ACB的中位線

∴GC=AC=,

∴MH=GC=,正確

(3)如下圖2所示,

∵AC=BC,∠ACB=90°,

∴∠A=∠5=45°.

△ACF順時針旋轉90°△BCD,則CF=CD,∠1=∠4,∠A=∠6=45°,BD=AF;

∵∠2=45°,

∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°,

∴∠DCE=∠2,

△ECF△ECD中,CF=CD,∠2=∠DCE,CE=CE,

∴△ECF≌△ECD(SAS),

∴EF=DE,

∵∠5=45°,

∴∠BDE=90°,

∴DE2=BD2+BE2,即EF2=AF2+BE2,故錯誤;

(4)∵△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,

∴∠A=∠B=45°,

∵MG⊥AC,MH⊥BC,

∴∠AGF=∠BHE=90°,

∴∠AFG=∠BEH=45°,

∴∠MFE=∠AFG=45°,∠MEF=∠BEH=45°,

∴△AGF、△BEH、△MEF都是等腰直角三角形,

∴AG=FG=AF,BH=HE=BE,ME=MF=EF,

∴SAGF=AF2,SBEH=BE2,SMEF=EF2

EF2=AF2+BE2,

∴SAGF+SBEH=SMEF,正確.

綜上所述,正確的結論是①②④.

故選B.

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