Question

如圖，已知⊙O的直徑AB與弦CD相互垂直，垂足為點(diǎn)E，過點(diǎn)B作CD的平行線與弦AD的延長線相交于點(diǎn)F，且AD=3，cos∠BCD=．
（1）求證：BF為⊙O的切線．
（2）求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AB⊥CD，BF∥CD，可得AB⊥BF，又由AB是⊙O的直徑，即可證得BF為⊙O的切線；
（2）首先連接BD，由AB是⊙O的直徑，可得∠ADB是直角，又由AD=3，cos∠BCD=，即可得cos∠BAD==，繼而求得答案．
解答：（1）證明：∵AB⊥CD，BF∥CD，
∴AB⊥BF，
∵AB是⊙O的直徑，
∴BF為⊙O的切線；

（2）解：連接BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵∠BCD=∠BAD，cos∠BCD=，
∴cos∠BAD==，
∵AD=3，
∴AB=4，
∴⊙O的半徑為2．
點(diǎn)評：此題考查了切線的判定、圓周角定理以及銳角三角函數(shù)的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．