Question

12、已知M、N分別在正方形ABCD的邊DA、AB上，且AM=AN，過A作BM的垂線，垂足為P，求證：∠APN=∠BNC．

Answer 1

分析：延長AP交DC于E，連接NE，由∠BPE+∠BCD=180°，證出P、B、C、E四點共圓，由△ABM和△DAE全等，推出CE=BN，得出矩形BNEC，證出N、B、C、E四點共圓，即N、B、C、E、P五點共圓，即可得出答案．

解答：證明：延長AP交DC于E，連接NE，
∵AP⊥BM，
∴∠APB=∠BPE=∠APM=90°，
∵正方形ABCD，
∴AB∥CD，AB=CD，∠ABC=∠ACB=90°，
∴∠BPE+∠BCD=180°，
∴P、B、C、E四點共圓，
而∠PAM+∠AMP=90°，∠AMP+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠PAM=∠EAD，
∴△ABM≌△DAE，
∴DE=AM=AN，
∴CE=BN，
∴四邊形NBCE是矩形，
∴N、B、C、E四點共圓，
即N、B、C、E、P五點共圓，
∴∠NPB=∠NCB，
∵∠APN+∠BPN=90°，∠BCN+∠BNC=90°，
∴∠APN=∠BNC．

點評：本題主要考查了矩形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，確定圓的條件等知識點，解此題的關鍵是證明∠NPB和∠NCB相等．題目較好但有一定的難度．