【題目】在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的動點(不與A,B重合),過M點作MN∥BC交AC于點N.以MN為直徑作⊙O,并在⊙O內(nèi)作內(nèi)接矩形AMPN.令AM=x.
(1)用含x的代數(shù)式表示△MNP的面積S;
(2)當(dāng)x為何值時,⊙O與直線BC相切?
(3)在動點M的運動過程中,記△MNP與梯形BCNM重合的面積為y,試求y關(guān)于x的函數(shù)表達式,并求x為何值時,y的值最大,最大值是多少?
【答案】(1).(0<x<4)(2)x=時,⊙O與直線BC相切;(3)y=-x2+6x-6,當(dāng)x=時,y值最大,最大值是2.
【解析】試題分析:(1)由于三角形PMN和AMN的面積相當(dāng),那么可通過求三角形AMN的面積來得出三角形PMN的面積,求三角形AMN的面積可根據(jù)三角形AMN和ABC相似,根據(jù)相似比的平方等于面積比來得出三角形AMN的面積;
(2)當(dāng)圓O與BC相切時,O到BC的距離就是MN的一半,那么關(guān)鍵是求出MN的表達式,可根據(jù)三角形AMN和三角形ABC相似,得出MN的表達式,也就求出了O到BC的距離的表達式,如果過M作MQ⊥BC于Q,那么MQ就是O到BC的距離,然后在直角三角形BMQ中,用∠B的正弦函數(shù)以及BM的表達式表示出MQ,然后讓這兩表示MQ的含x的表達式相等,即可求出x的值;
(3)要求重合部分的面積首先看P點在三角形ABC內(nèi)部還是外面,因此可先得出這兩種情況的分界線即當(dāng)P落到BC上時,x的取值,那么P落點BC上時,MN就是三角形ABC的中位線,此時AM=2,因此可分兩種情況進行討論:
①當(dāng)0<x≤2時,此時重合部分的面積就是三角形PMN的面積,三角形PMN的面積(1)中已經(jīng)求出,即可的x,y的函數(shù)關(guān)系式.②當(dāng)2<x<4時,如果設(shè)PM,PN交BC于E,F,那么重合部分就是四邊形MEFN,可通過三角形PMN的面積-三角形PEF的面積來求重合部分的面積.不難得出PN=AM=x,而四邊形BMNF又是個平行四邊形,可得出FN=BM,也就有了FN的表達式,就可以求出PF的表達式,然后參照(1)的方法可求出三角形PEF的面積,即可求出四邊形MEFN的面積,也就得出了y,x的函數(shù)關(guān)系式.然后根據(jù)兩種情況得出的函數(shù)的性質(zhì),以及對應(yīng)的自變量的取值范圍求出y的最大值即可.
試題解析:(1)∵MN∥BC,
∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C.
∴△AMN∽△ABC.
∴,
即;
∴AN=x;
∴S=S△MNP=S△AMN=.(0<x<4)
(2)如圖2,設(shè)直線BC與⊙O相切于點D,連接AO,OD,則AO=OD=MN.
在Rt△ABC中,BC==5;
由(1)知△AMN∽△ABC,
∴,
即,
∴MN=
∴OD= ,
過M點作MQ⊥BC于Q,則MQ=OD= ,
在Rt△BMQ與Rt△BCA中,∠B是公共角,
∴△BMQ∽△BCA,
∴,
∴BM= ,AB=BM+MA=
∴x=,
∴當(dāng)x=時,⊙O與直線BC相切;
(3)隨點M的運動,當(dāng)P點落在直線BC上時,連接AP,則O點為AP的中點.
∵MN∥BC,
∴∠AMN=∠B,∠AOM=∠APB,
∴△AMO∽△ABP,
∴,
∵AM=MB=2,
故以下分兩種情況討論:
①當(dāng)0<x≤2時,y=S△PMN=x2,
∴當(dāng)x=2時,y最大=×4=,
②當(dāng)2<x<4時,設(shè)PM,PN分別交BC于E,F,
∵四邊形AMPN是矩形,
∴PN∥AM,PN=AM=x,
又∵MN∥BC,
∴四邊形MBFN是平行四邊形;
∴FN=BM=4-x,
∴PF=x-(4-x)=2x-4,
又∵△PEF∽△ACB,
∴()2=,
∴S△PEF=(x-2)2;
y=S△MNP-S△PEF=x2-(x-2)2=-x2+6x-6,
當(dāng)2<x<4時,y=-x2+6x-6=-(x-)2+2,
∴當(dāng)x=時,滿足2<x<4,y最大=2.
綜上所述,當(dāng)x=時,y值最大,最大值是2.
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【題目】我市某中學(xué)“環(huán)保小組”的5名同學(xué)在一次活動中撿廢棄塑料袋的個數(shù)分別是4,6,8,6,10,這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為( 。
A.4B.6C.8D.10
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【題目】已知數(shù)軸上有A、B、C三個點,分別表示有理數(shù)-24,-10,10,動點P從A出發(fā),以每秒1個單位的速度向終點C移動,設(shè)移動時間為t秒.
(1)用含t的代數(shù)式表示P到點A和點C的距離:PA= ,PC= .
(2)當(dāng)點P運動到B點時,點Q從A點出發(fā),以每秒3個單位的速度向C點運動,Q點到達C點后,再立即以同樣的速度返回,運動到終點A.
①在運動過程中,t為何值時P與Q重合?
②在點Q開始運動后,P、Q兩點之間的距離能否為2個單位?如果能,請求出此時點P表示的數(shù);如果不能,請說明理由.
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【題目】如圖,數(shù)軸上有A、B、C、D四個整數(shù)點(即各點均表示整數(shù)),且3AB=BC=2CD.若A、D兩點所表示的數(shù)分別是﹣6和5,則線段AC的中點所表示的數(shù)是( )
A. ﹣3 B. ﹣1 C. 3 D. ﹣2
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【題目】用代數(shù)式表示”x的2倍與Y的差的平方”,正確的是( )
A. (2x-y)2B. 2(x-y)2C. 2x-y2D. (x-2y)2
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【題目】如圖,數(shù)軸上,點的初始位置表示的數(shù)為,現(xiàn)點做如下移動:第次點向左移動個單位長度至點,第次從點向右移動個單位長度至點,第次從點向左移動個單位長度至點, ,按照這種移動方式進行下去,如果點與原點的距離不小于,那么的最小值是__________.
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