Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，點(diǎn)D是斜邊AC上的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作斜邊AC的垂線，交CB的延長線于點(diǎn)E，將DE繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到線段DF，連接AF、EF．
（1）求∠CED的度數(shù)；
（2）證明：四邊形ABEF是矩形．

Answer 1

（1）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，
∴∠C=60°，
∵DE⊥AC，
∴∠CDE=90°，
∴在△CDE中，∠CED=180°-∠C-∠CDE=30°．

（2）證明：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，
∴BC=

1

2

AC，
∵D為AC中點(diǎn)，
∴CD=

1

2

AC，
∴CD=BC，
在△ABC和△EDC中

∠C=∠C CB=CD ∠ABC=∠EDC

∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB=ED，
∵DF是由線段ED繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，
∴DE=DF，∠EDF=60°，
∴△DEF是等邊三角形，
∴ED=EF，∠DEF=60°，
∴AB=EF，∠CEF=90°，
∴AB∥EF，
∴四邊形ABEF是平行四邊形，
∵∠CEF=90°，
∴平行四邊形ABEF是矩形．