Question

已知二次函數(shù)y=-x²-（m-1）x+m．
（1）證明：無(wú)論m為何值，此二次函數(shù)的圖象與x軸總有交點(diǎn)．
（2）當(dāng)此函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，確定它的解析式；并求出當(dāng)y≥0時(shí)，自變量x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：（1）根據(jù)一元二次方程-x²-（m-1）x+m=0的根的判別式的符號(hào)進(jìn)行證明；
（2）把點(diǎn)（0，0）代入函數(shù)解析式求得m的值；利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出當(dāng)y≥0時(shí)，自變量x的取值范圍．

解答：（1）證明：令y=0，則-x²-（m-1）x+m=0．
∵△=[-（m-1）]²-4×（-1）m=（m+1）²，
∴無(wú)論m取何值，（m+1）²≥0，
∴無(wú)論m為何值，此二次函數(shù)的圖象與x軸總有交點(diǎn)；

（2）解：把點(diǎn)（0，0）代入y=-x²-（m-1）x+m，得
m=0，
則該二次函數(shù)的解析式為y=-x²+x=-x（x-1），
所以，該拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0），（0，1）．
如圖所示，當(dāng)當(dāng)y≥0時(shí)，自變量x的取值范圍是0≤x≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)．二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關(guān)系．
△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；
△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；
△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．