Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，⊙O為△ABC內(nèi)切圓，與三邊分別相切于D、E、F．
（1）求⊙O半徑；
（2）若G為AB中點，求線段OG長度．

Answer 1

考點：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：計算題

分析：（1）連接OD、OE、OF，如圖，設(shè)⊙O半徑為r，在Rt△ABC中根據(jù)勾股定理計算出AB=10，再證明四邊形ODCE為正方形，則CD=CE=r，AD=8-r，BE=6-r，
根據(jù)切線長定理得AF=AD=8-r，BF=BE=6-r，所以8-r+6-r=10，解方程即可得到r的值；
（2）由=

1

2

AB=5，BF=4得到GF=BG-BF=1，然后在Rt△OGF中根據(jù)勾股定理可計算出OG．

解答：解：（1）連接OD、OE、OF，如圖，設(shè)⊙O半徑為r，
在Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6，
∴AB=

BC2+AC2

=10，
∵⊙O為△ABC內(nèi)切圓，與三邊分別相切于D、E、F，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB，
∴四邊形ODCE為矩形，
∵OD=OE，
∴四邊形ODCE為正方形，
∴CD=CE=r，
∴AD=8-r，BE=6-r，
∵AF=AD=8-r，BF=BE=6-r，
∴8-r+6-r=10，
∴r=2，
即⊙O半徑為2；
（2）∵G為AB中點，
∴BG=

1

2

AB=5，
而BF=6-r=4，
∴GF=BG-BF=5-4=1，
在Rt△OGF中，∵OF=2，GF=1，
∴OG=

OF2+GF2

=

5

．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點．也考查了切線的性質(zhì)與切線長定理．