Question

如圖，△ABC中，D為AC上一點，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，連接AE．
（1）寫出圖中一對相似三角形（不要求證明）；
（2）寫出圖中所有相等的線段，并加以證明．

Answer 1

（1）解：△ADE與△ACE；△ABC與△BDC．

（2）證明：AD=DE；BE=CE；AE=CE；AE=BE．
∵CE⊥BD，∠BDC=60°，
∴在Rt△CED中，∠ECD=30°，
∴DE=CD，即CD=2DE，
∵CD=2DA，∴DE=DA，
在△ADE中，∠EDA=180°-∠CDB=120°，
∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD，
∴AE=CE，
∵∠BAC=45°，
∴∠EAB=∠EBA=15°，
∴AE=BE．
∴BE=CE．
分析：在直角三角形中，30°角所對的直角邊是斜邊的一半，所以CD=2ED，則可證明DE=AD，再利用三角形的內(nèi)角和定理可判斷∠DAE=∠DEA=30°，∠EAB=∠EBA=15°，∠CBE=∠BCE=45°，則圖中相似三角形和相等的線段都可求．
點評：此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理、直角三角形中30°角的特殊性質，及相似三角形的判定定理．