Question

如圖，設(shè)點P是邊長為a的正三角形ABC的邊BC上一點，過點P作PQ⊥AB，垂足為Q，延長QP交AC的延長線于點R．當點P在何處時，△BPQ與△CPR的面積之和取最大（�。┲�？并求出最大（小）值．

Answer 1

分析：首先設(shè)PB=x，由∠B=60°，得：BQ=

x

2

，PQ=

3

2

，從而有PC=CR=a-x，進而表示出S=

3

8

x²+

3

4

（a-x）²，進而利用二次函數(shù)最值求法得出即可．

解答：解：在Rt△BPQ中，設(shè)PB=x，由∠B=60°，得：
BQ=

x

2

，PQ=

3

2

，從而有PC=CR=a-x，
∴△BPQ與△CPR的面積之和為：
S=

3

8

x²+

3

4

（a-x）²=

3 3

8

（x-

2

3

a）²+

3

12

a²，
∵0≤x≤a，
∴當x=0時，S取最大值

3

4

a²，
當x=

2

3

a時，S取最小值

3

12

a²．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)最值求法和三角形面積求法，表示出S與x的函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．