Question

如圖，拋物線y=﹣x²+mx+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；

（3）點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當(dāng)點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標(biāo)．

　

Answer 1

【考點】二次函數(shù)綜合題．

【專題】綜合題．

【分析】（1）直接把A點和C點坐標(biāo)代入y=﹣x²+mx+n得m、n的方程組，然后解方程組求出m、n即可得到拋物線解析式；

（2）先利用拋物線對稱軸方程求出拋物線的對稱軸為直線x=﹣，則D（，0），則利用勾股定理計算出CD=，然后分類討論：如圖1，當(dāng)CP=CD時，利用等腰三角形的性質(zhì)易得P₁（，4）；當(dāng)DP=DC時，易得P₂（，），P₃（，﹣）；

（3）先根據(jù)拋物線與x軸的交點問題求出B（4，0），再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=﹣x+2，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，設(shè)E（x，﹣ x+2）（0≤x≤4），則F（x，﹣ x²+x+2），則FE=﹣x²+2x，由于△BEF和△CEF共底邊，高的和為4，則S_△BCF=S_△BEF+S_△CEF=•4•EF=﹣x²+4x，加上S_△BCD=，所以S_{四邊形CDBF}=S_△BCF+S_△BCD=﹣x²+4x+（0≤x≤4），然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求四邊形CDBF的面積最大，并得到此時E點坐標(biāo)．

【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y=﹣x²+mx+n得，解得，

∴拋物線解析式為y=﹣x²+x+2；

（2）存在．

拋物線的對稱軸為直線x=﹣=，

則D（，0），

∴CD===，

如圖1，當(dāng)CP=CD時，則P₁（，4）；

當(dāng)DP=DC時，則P₂（，），P₃（，﹣），

綜上所述，滿足條件的P點坐標(biāo)為（，4）或（，）或（，﹣）；

（3）當(dāng)y=0時，=﹣x²+x+2=0，解得x₁=﹣1，x₂=4，則B（4，0），

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

把B（4，0），C（0，2）代入得，解得，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+2，

設(shè)E（x，﹣ x+2）（0≤x≤4），則F（x，﹣ x²+x+2），

∴FE=﹣x²+x+2﹣（﹣x+2）=﹣x²+2x，

∵S_△BCF=S_△BEF+S_△CEF=•4•EF=2（﹣x²+2x）=﹣x²+4x，

而S_△BCD=×2×（4﹣）=，

∴S_{四邊形CDBF}=S_△BCF+S_△BCD

=﹣x²+4x+（0≤x≤4），

=﹣（x﹣2）²+

當(dāng)x=2時，S_{四邊形CDBF}有最大值，最大值為，此時E點坐標(biāo)為（2，1）．

【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；靈活應(yīng)用三角形的面積公式；學(xué)會運用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．