Question

如圖，y=-x+3交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)A，B，C（1，0）三點(diǎn)．
（1）求拋物線解析式．
（2）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，0），在直線y=-x+3上有一點(diǎn)P使△ABO與△ADP相似，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）在（2）的條件下，且點(diǎn)P為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作直線l平行于y軸，動(dòng)點(diǎn)N從原點(diǎn)出發(fā)以每秒一個(gè)單位的速度沿0-M-P運(yùn)動(dòng)，同時(shí)直線l從A點(diǎn)出發(fā)以相同的速度沿x軸向左平移，在平移過(guò)程中，直線l交x軸于點(diǎn)R，交線段BP或OP于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)N達(dá)到P點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，是否存在以P，Q，N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先利用交點(diǎn)式得出y=a（x-1）（x-3），進(jìn)而得出a的值即可；
（2）根據(jù)題意分析①若△ABO∽△AP₁D，②若△ABO∽△ADP₂，進(jìn)而分別得出P點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）分當(dāng)0≤t≤2時(shí)，當(dāng)2＜t≤3時(shí)，兩種情況討論得到以P，Q，N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形的t的值．

解答：解：（1）由題意得出：A（3，0），B（0，3），
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A、B、C（1，0）三點(diǎn)，
∴設(shè)y=a（x-1）（x-3）（其中a≠0），
∴a×（-1）×（-3）=3，
∴拋物線解析式為：y=x²-4x+3；

（2）由題意可得，△ABO為等腰三角形，
①若△ABO∽△AP₁D，
則

AO

AD

=

BO

DP1

，
∴DP₁=AD=4．
∴P₁（-1，4）；
②若△ABO∽△ADP₂，過(guò)點(diǎn)P₂作P₂E⊥x軸于E，AD=4，
∵△ABO為等腰三角形，
∴△ADP是等腰三角形，
由“等腰三角形三線合一”可得，DE=AE=2=P₂E，即點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，
∴P₂（1，2）

（3）當(dāng)0≤t≤2時(shí)，可得PN=PQ，t=1．
當(dāng)2＜t≤3時(shí)，
①可得QN=QP，t=

7

3

．
②可得QN=PQ，t=

7+ 5

4

．
③可得QN=NP，t=

16

7

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用以及等腰三角形、等腰直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，利用分類討論以及數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．