Question

如圖△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，BC=12cm，把△ABC繞著它的斜邊中點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△DEF的位置，DF交BC于點(diǎn)H．
（1）PH=______cm．
（2）△ABC與△DEF重疊部分的面積為______cm²．

Answer 1

設(shè)AC與DF和EF的交點(diǎn)分別為M，N，如下圖所示：

（1）∵∠A=90°，∠C=30°，BC=12cm，點(diǎn)P為斜面中點(diǎn)，
∴FD=6

3

cm，DE=6cm，F(xiàn)P=6cm，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)角相等可知：△FHP∽△FED，
∴

FP

FD

=

HP

DE

=

FH

EF

，即

6

6 3

=

HP

6

=

FH

12

，
解得：PH=2

3

，F(xiàn)H=4

3

；

（2）∵∠C是公共角，∠CPN=∠A=90°，
∴△PNC∽△ABC得，

BA

NP

=

AC

CP

=

BC

NC

，即

6

NP

=

6 3

CP

=

12

NC

，其中CP=6，
解得NP=2

3

，NC=4

3

．
FN=FP-NP=6-2

3

，
由△FMN∽△CPN，可知

FN

NC

=

1- 3

2

，
根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方，可知
S_{四邊形MNPH}=S_△FHP-S_△FMN=S_△CNP-（1-

3

2

）S_△CNP=6×2

3

×

1

2

×

3

2

=9．
△ABC與△DEF重疊部分的面積為9cm²．
故答案為：2

3

，9．