Question

已知拋物線y=x²-kx+k-5．
（1）求證：不論k為何實數(shù)，此拋物線與x軸一定有兩個不同的交點；
（2）若此二次函數(shù)圖象的對稱軸為x=1，求它的解析式；
（3）在（2）的條件下，設拋物線的頂點為A，拋物線與x軸的兩個交點中右側交點為B，
若P為x軸上一點，且△PAB為等腰三角形，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)判別式△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有兩個交點，求k的取值范圍；
（2）根據(jù)對稱軸公式：對稱軸直線x=-

b

2a

，代入求出即可；
（3）利用△PAB為等腰三角形，分別利用三邊對應關系得出即可．

解答：解：（1）證明：∵△=k²-4k+20=（k-2）²+16＞0，
∴不論k為何實數(shù)，此拋物線與x軸一定有兩個不同的交點．（4分）

（2）∵對稱軸為x=1，
∴

k

2

=1，
∴k=2，
∴所求函數(shù)的解析式為y=x²-2x-3．（4分）

（3）∵拋物線y=x²+bx+c的頂點坐標為（1，-4）
∴-

b

2a

=1，

4ac-b2

4a

=-4
∵a=1
∴b=-2，c=-3
∴y=x²-2x-3
當y=0時，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，即與x軸的交點為（-1，0），（3，0）
當x=0時，y=-3，即與y軸的交點坐標為（0，-3）．
如圖所示：P為x軸上一點，且△PAB為等腰三角形，點P的坐標為：
（-2，0），（3-2

5

，0），（3+2

5

，0），（-1，0）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的性質以及等腰三角形的性質，根據(jù)已知得出解析式是解題關鍵．