Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸的一個交點是A，與y軸的交點是B，且OA、OB（OA＜OB）的長是方程x²-6x+5=0的兩個實數(shù)根．
（1）求A、B兩點的坐標(biāo)；
（2）求出此拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo)；
（3）求出此拋物線與x軸的另一個交點C的坐標(biāo)；
（4）在直線BC上是否存在一點P，使四邊形PDCO為梯形？若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）解方程求出A，B的坐標(biāo)．
（2）A，B坐標(biāo)代入y=-x²+bx+c確定解析式和D點坐標(biāo)．
（3）四邊形PDCO為梯形就有直線平行線，通過直線解析式建立方程組確定點的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵x²-6x+5=0的兩個實數(shù)根為x₁=1，x₂=5
OA、OB（OA＜OB）的長是方程x²-6x+5=0的兩個實數(shù)根
∴OA=1，OB=5
∴A（1，0），B（0，5）（2分）

（2）∵拋物線y=-x²+bx+c與x軸的一個交點是A，與y軸的交點是B
∴

-1+b+c=0 c=5

解得：

b=-4 c=5

∴所求二次函數(shù)的解析式為：y=-x²-4x+5（3分）
頂點坐標(biāo)為：D（-2，9）（4分）

（3）此拋物線與x軸的另一個交點C的坐標(biāo)為（-5，0）（5分）

（4）直線CD的解析式為：
y=3x+15（6分）
直線BC的解析式為：
y=x+5（7分）
∵以CD為底，則OP∥CD
直線OP的解析式為：y=3x
于是有

y=x+5 y=3x

解得：

x= 5 2 y= 15 2

∴點P的坐標(biāo)為（

5

2

，

15

2

)（8分）
②若以O(shè)C為底，則DP∥CO
直線DP的解析式為：y=9
于是有

y=x+5 y=9

解得：

x=4 y=9

∴點P的坐標(biāo)為（4，9）（9分）
∴在直線BC上存在點P，使四邊形PDCO為梯形且P點坐標(biāo)為（

5

2

，

15

2

)或（4，9）（10分）

點評：此題的難點是（3）問．首先要用到分類討論的思想，其次求點的坐標(biāo)看這個點在那幾個圖象上，然后建立方程組求解．