精英家教網(wǎng)已知:如圖,AB是半圓O的直徑,OD是半徑,BM切半圓于點B,OC與弦AD平行交BM于點C.
(1)求證:CD是半圓O的切線;
(2)若AB的長為4,點D在半圓O上運動,當AD的長為1時,求點A到直線CD的距離.
分析:(1)由OC∥AD,得∠1=∠3,∠2=∠4,證得∠1=∠2,又OC公共,OD=OB,于是△ODC≌△OBC,則∠ODC=∠OBC,而BM切半圓于點B,得到∠OBC=90°,所以∠ODC=90°.
(2)過A作AE垂直CD,E為垂足,連BD,則∠ADB=90°,由∠EDA+∠3=∠4+∠ABD=90°,得到∠EDA=∠ABD,所以Rt△ADE∽Rt△ABD,得到AD2=AE•AB,而AB=4,AD=1,即可得到AE.
解答:精英家教網(wǎng)(1)證明:如圖,
∵OC∥AD,
∴∠1=∠3,∠2=∠4,
而OD=OA,∠3=∠4,
∴∠1=∠2.
又∵OD=OB,OC公共,
∴△ODC≌△OBC,
∴∠ODC=∠OBC,
∵BM切半圓于點B,得到∠OBC=90°,
∴∠ODC=90°,
∴CD是半圓O的切線;

(2)解:過A作AE垂直CD,E為垂足,連BD,則∠ADB=90°,
∴∠EDA+∠3=∠4+∠ABD=90°,
∴∠EDA=∠ABD,
∴Rt△ADE∽Rt△ABD,
∴AD2=AE•AB,
而AB=4,AD=1,
∴1=4AE,得AE=
1
4

所以點A到直線CD的距離為
1
4
點評:本題考查了圓的切線的判定方法.經(jīng)過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線.當已知直線過圓上一點,要證明它是圓的切線,則要連接圓心和這個點,證明這個連線與已知直線垂直即可;當沒告訴直線過圓上一點,要證明它是圓的切線,則要過圓心作直線的垂線,證明垂線段等于圓的半徑.同時考查了切線的性質(zhì)和三角形相似的判定和性質(zhì).
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知:如圖,AB為⊙O的直徑,C、D是半圓弧上的兩點,E是AB上除O外的一點,AC與DE相交于F.①
AD
=
CD
,②DE⊥AB,③AF=DF.
(1)寫出“以①②③中的任意兩個為條件,推出第三個(結(jié)論)”的一個正確命題,并加以證明;
(2)“以①②③中的任意兩個為條件,推出笫三個(結(jié)論)”可以組成多少個正確的命題?(不必說明理由)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•沈陽)已知,如圖,在平面直角坐標系中,點A坐標為(-2,0),點B坐標為(0,2),點E為線段AB上的動點(點E不與點A,B重合),以E為頂點作∠OET=45°,射線ET交線段0B于點F,C為y軸正半軸上一點,且OC=AB,拋物線y=-
2
x2+mx+n的圖象經(jīng)過A,C兩點.
(1)求此拋物線的函數(shù)表達式;
(2)求證:∠BEF=∠AOE;
(3)當△EOF為等腰三角形時,求此時點E的坐標;
(4)在(3)的條件下,當直線EF交x軸于點D,P為(1)中拋物線上一動點,直線PE交x軸于點G,在直線EF上方的拋物線上是否存在一點P,使得△EPF的面積是△EDG面積的(2
2
+1)倍?若存在,請直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:2009-2010學年吉林省長春市外國語學校九年級(上)期中數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

已知:如圖,AB為⊙O的直徑,C、D是半圓弧上的兩點,E是AB上除O外的一點,AC與DE相交于F.①,②DE⊥AB,③AF=DF.
(1)寫出“以①②③中的任意兩個為條件,推出第三個(結(jié)論)”的一個正確命題,并加以證明;
(2)“以①②③中的任意兩個為條件,推出笫三個(結(jié)論)”可以組成多少個正確的命題?(不必說明理由)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:2003年全國中考數(shù)學試題匯編《圓》(09)(解析版) 題型:解答題

(2003•綿陽)已知:如圖,AB為⊙O的直徑,C、D是半圓弧上的兩點,E是AB上除O外的一點,AC與DE相交于F.①,②DE⊥AB,③AF=DF.
(1)寫出“以①②③中的任意兩個為條件,推出第三個(結(jié)論)”的一個正確命題,并加以證明;
(2)“以①②③中的任意兩個為條件,推出笫三個(結(jié)論)”可以組成多少個正確的命題?(不必說明理由)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:2003年四川省綿陽市中考數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

(2003•綿陽)已知:如圖,AB為⊙O的直徑,C、D是半圓弧上的兩點,E是AB上除O外的一點,AC與DE相交于F.①,②DE⊥AB,③AF=DF.
(1)寫出“以①②③中的任意兩個為條件,推出第三個(結(jié)論)”的一個正確命題,并加以證明;
(2)“以①②③中的任意兩個為條件,推出笫三個(結(jié)論)”可以組成多少個正確的命題?(不必說明理由)

查看答案和解析>>

同步練習冊答案